Квантор всеобщности

Квантор всеобщности (обозначения: [math]\displaystyle{ \forall }[/math], ∀) — условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных элементов из указанного множества. Формально это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как «для всех…», «для каждого…», «для любого…» или «все…», «каждый…», «любой…».

Квантор всеобщности — это объект, с помощью которого формализуется высказывание о том, что какое-то логическое выражение истинно для всего или по крайней мере для той области определения, в которой это выражение имеет смысл. Применяется в предикатной и символической логике.

Варианты чтения

Выражение [math]\displaystyle{ (\forall x\in X) P(x) }[/math] читается так:

для любого (всякого, каждого) значения x из множества X утверждение (предикат) P(x) истинно;
всякий (любой, каждый) элемент x множества X (где X — множество значений переменной x) обладает свойством P(x);
каково бы ни было значение x из множества X, P(x) — истина.

Интерпретации

В теории кванторов Пирса кванторы трактуются как функции логического выбора. Квантор существования оставляет возможность для говорящего сделать выбор объекта в универсуме дискурса, тогда как квантор всеобщности даёт такую функцию выбора тому, кому это утверждение было высказано (интерпретатору).

История

Символ [math]\displaystyle{ \forall }[/math] для квантора всеобщности введён Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования [math]\displaystyle{ \exists }[/math], введённым Джузеппе Пеано в 1897 году.

Концепция была предложена ранее в книге Begriffsschrift (Исчисление понятий) (1879) Готлоба Фреге.

Кодировка

Графема	Название	Юникод	HTML	мнемоника	LaTeX
∀	FOR ALL	U+2200	`∀`	`&#forall;`	`\forall`

Факты

В теоретико-игровой семантике Яакко Хинтикки квантор всеобщности называется «Абеляром», а квантор существования — «Элоизой».