Длина окружности

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Длина окружности C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = [math]\displaystyle{ \pi }[/math] × D = 2 × [math]\displaystyle{ \pi }[/math] × R.

Длина окружности — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или диска, длина окружности является частным случаем периметра[1][2]. Периметр — общая длина границы фигуры.

Круг

Длина окружности может быть определена как предел последовательности периметров вписанных в круг правильных многоугольников[3]. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов, а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы.

Если диаметр окружности равен 1, её длина равна [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
Если радиус окружности равен 1, её длина равна [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].

Длина окружности и число пи

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом пи. Число пи обозначается греческой буквой пи ([math]\displaystyle{ \pi }[/math]). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ...[4] Пи определяется как отношение длины окружности [math]\displaystyle{ C }[/math] к её диаметру [math]\displaystyle{ d }[/math]:

[math]\displaystyle{ \pi = \frac{C}{d} }[/math]

Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее радиусам. Формула выше принимает вид:

[math]\displaystyle{ {C}=\pi\cdot{d}=2\pi\cdot{r}.\! }[/math]

Использование константы [math]\displaystyle{ \pi }[/math] является повсеместным в науке и приложениях.

В книге «Измерение круга[en]», написанной около 250 до н.э., Архимед показал, что это отношение ([math]\displaystyle{ C/d }[/math], поскольку он не использовал обозначение [math]\displaystyle{ \pi }[/math]) больше 31071, но меньше 317, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами[5]. Этот метод аппроксимации числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году Кристоф Гринбергер[en], использовавшим многоугольники с 1040 сторонами.

Эллипс

Нет общей формулы для вычисления длины границы эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Одно из приближений получено Эйлером (1773); периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:

[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, }[/math]

приблизительно равен

[math]\displaystyle{ C_{\rm{ellipse}} \sim \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)} }[/math]

Нижние и верхние границы периметра канонического эллипса при [math]\displaystyle{ a\geq b }[/math] [6].

[math]\displaystyle{ 2\pi b \leqslant C \leqslant 2\pi a, }[/math]
[math]\displaystyle{ \pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b), }[/math]
[math]\displaystyle{ 4\sqrt{a^2+b^2}\leqslant C \leqslant \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} . }[/math]

Здесь верхняя граница [math]\displaystyle{ 2\pi a }[/math] — длина описанной концентричной окружности, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница [math]\displaystyle{ 4\sqrt{a^2+b^2} }[/math] — периметр вписанного ромба, вершины которого — концы больших и малых осей.

Периметр эллипса может быть описан с помощью полного эллиптического интеграла второго рода[7]. Более точно:

[math]\displaystyle{ C_{\rm{ellipse}} = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина большой полуоси и [math]\displaystyle{ e }[/math] — эксцентриситет [math]\displaystyle{ \sqrt{1 - b^2/a^2}. }[/math]

См. также

Примечания

  1. ↑ Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.) (3rd ed.), Addison-Wesley, с. 580, ISBN 978-0-321-22773-7 
  2. ↑ San Diego State University. Perimeter, Area and Circumference (недоступная ссылка). Addison-Wesley (2004). Дата обращения: 6 марта 2020. Архивировано 6 октября 2014 года.
  3. ↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), W. H. Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0 
  4. ↑ Sloane, N. J. A. Sequence A000796, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS, OEIS Foundation. 
  5. ↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (англ.) (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, с. 109, ISBN 978-0-321-01618-8, <https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109> 
  6. ↑ Jameson, G.J.O. Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.) (англ.) // Mathematical Gazette  (англ.) (рус. : journal. — 2014. — Vol. 98, no. 499. — P. 227—234. — doi:10.2307/3621497. — JSTOR 3621497.
  7. ↑ Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (англ.), American Mathematical Monthly Т. 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, <https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52> 

Литература

  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
    • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Длина_окружности&oldid=11146042