Дифферинтеграл Вейля
В математике дифферинтеграл Вейля - это оператор, определённый на интегрируемых функциях f единичного круга ([math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math] — периодичных) с нулевым средним (т. е. интеграл от f по периоду равен 0). Другими словами функция f может быть разложена в ряд Фурье:
- [math]\displaystyle{ f(\varphi) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{i n \varphi} }[/math]
где [math]\displaystyle{ a_0 = 0 }[/math], или:
- [math]\displaystyle{ f(\varphi) = \sum'_{n} a_n e^{i n \varphi} }[/math],
где символ [math]\displaystyle{ \sum'_{n} }[/math] обозначает суммирование по всем натуральным [math]\displaystyle{ n }[/math] кроме 0.
Интеграл Вейля порядка [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math] определяется на разложении в ряд Фурье как:
- [math]\displaystyle{ f^{\alpha}(\varphi) = \sum'_{n} \frac{a_n e^{in\varphi}}{(i n)^{\alpha}} }[/math],
а производная Вейля порядка [math]\displaystyle{ \beta\gt 0 }[/math] определяется как:
- [math]\displaystyle{ f_{\beta}(\varphi) = \frac{\partial^n}{\partial \varphi ^n} f_{n-\beta}(\varphi) }[/math].
Таким образом, дифферинтеграл Вейля определён полностью.
Условие [math]\displaystyle{ a_0 = 0 }[/math] необходимо в этих определениях, так как в противном случае возникало бы деление на 0.
Данное определение было введено Германом Вейлем в 1917 году.
См. также
Ссылки
- Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104