Дифференциальное тождество Бьянки
Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:
- [math]\displaystyle{ (1) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} + \nabla_j R^s_{\;rki} + \nabla_k R^s_{\;rij} = 0, }[/math]
которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.
Доказательство с использованием специальной системы координат
Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку [math]\displaystyle{ P }[/math] и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка [math]\displaystyle{ P }[/math] произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.
В точке [math]\displaystyle{ P }[/math] мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке [math]\displaystyle{ P }[/math] имеем
- [math]\displaystyle{ (2) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i R^s_{\;rjk}. }[/math]
Поскольку
- [math]\displaystyle{ (3) \qquad R^s_{\;rjk} = \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_k \Gamma^s_{jr} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{kr} - \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{jr}, }[/math]
то в точке [math]\displaystyle{ P }[/math] имеем
- [math]\displaystyle{ (4) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_i \partial_k \Gamma^s_{jr}. }[/math]
Циклически переставляя в (4) индексы [math]\displaystyle{ ijk }[/math], получим ещё два равенства:
- [math]\displaystyle{ (5) \qquad \nabla_j R^s_{\;rki} = \partial_j \partial_k \Gamma^s_{ir} - \partial_j \partial_i \Gamma^s_{kr}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ (6) \qquad \nabla_k R^s_{\;rij} = \partial_k \partial_i \Gamma^s_{jr} - \partial_k \partial_j \Gamma^s_{ir}. }[/math]
Легко видеть, что при сложении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения получится левая часть выражения (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.