Диагональное преобладание
Говорят, что квадратная матрица [math]\displaystyle{ A_{nn} }[/math] обладает свойством диагонального преобладания, если для каждого [math]\displaystyle{ i = 1, \dots, n }[/math]
- [math]\displaystyle{ |a_{ii}| \geqslant \sum_{j \neq i} |a_{ij}|, }[/math]
причём хотя бы одно из этих неравенств является строгим. Если все неравенства строгие, то говорят, что матрица [math]\displaystyle{ A_{nn} }[/math] обладает строгим диагональным преобладанием.
Матрицы с диагональным преобладанием довольно часто возникают в приложениях. Их основное преимущество состоит в том, что итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с такой матрицей (метод итерации, метод Зейделя, метод Якоби) сходятся к точному решению, которое существует и единственно при любых правых частях[1][2]. Также для таких матриц заведомо существуют некоторые виды матричных разложений[3].
Свойства
- Матрица со строгим диагональным преобладанием является невырожденной.
Примечания
- ↑ Вержбицкий, 2000, с. 70.
- ↑ Вержбицкий, 2000, с. 74.
- ↑ Вержбицкий, 2000, с. 43.
Литература
- Вержбицкий, В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. — М.: Высшая школа, 2000. — ISBN 5-06-003654-5.