Гребенчатый фильтр

Гребенчатый фильтр — в обработке сигналов электронный фильтр, при прохождении сигнала через который к нему добавляется он сам с некоторой задержкой. В результате получается фазовая компенсация. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно распределённых пиков, так что она выглядит как гребёнка.

Реализация

В цифровых системах, фильтр задаётся следующим уравнением:

[math]\displaystyle{ y\left[n\right] = ax\left[n\right] + bx\left[n - \tau\right] + cy\left[n - \tau\right] }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — запаздывание. Гребенчатый фильтр также может быть реализован в аналоговой форме — АЧХ такого фильтра задаётся следующим выражением:

[math]\displaystyle{ H\left(\omega\right) = \frac{a + be^{-i \omega \tau}} {1 - ce^{-i \omega \tau}} }[/math]

Пики амплитудной характеристики получаются из-за того, что амплитудная характеристика включает периодические разрывы. Это происходит, когда выполняется следующее условие:

[math]\displaystyle{ \cos\left(\omega \tau\right) = \frac{1+c^2}{2c} }[/math]

Применения

Существуют двумерные и трёхмерные гребенчатые фильтры (реализованные как программно, так и аппаратно), применяющиеся для обработки сигналов в телевизионных системах стандартов PAL и NTSC. Они используются для уменьшения артефактов - например, таких, как сползание точек^[en].

В системах связи гребенчатые фильтры применяются для обработки сигнала связи.

Гребенчатые фильтры применяются для обработки аудиосигналов, в частности для создания эффекта эха. К примеру, если задержка установлена на уровне нескольких миллисекунд, это имитирует эффект звука в цилиндрической полости.

Передаточная функция

Гребенчатый фильтр представляет собой линейную стационарную систему. Пусть входной сигнал [math]\displaystyle{ x \left( n \right) }[/math] имеет экспоненциальную форму:

[math]\displaystyle{ x\left(n\right) = e^{i \omega n} }[/math]

Выходной сигнал [math]\displaystyle{ y \left( n \right) }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ y\left(n\right) = H\left(\omega\right) e^{i \omega n} }[/math]

Объединив эти выражения с уравнением гребенчатого фильтра, получим:

[math]\displaystyle{ H\left(\omega\right)e^{i \omega n} = ae^{i \omega n} + be^{i \omega \left(n-\tau\right)} + cH\left(\omega\right)e^{i \omega \left(n-\tau\right)} }[/math]

[math]\displaystyle{ H\left(\omega\right)e^{i \omega n} = ae^{i \omega n} + be^{-i \omega \tau}e^{i \omega n} + cH\left(\omega\right)e^{-i \omega \tau}e^{i \omega n} }[/math]

Принимая во внимание то, что экспонента не принимает значение нуля, уравнения можно поделить:

[math]\displaystyle{ H\left(\omega\right) = a + be^{-i \omega \tau} + cH\left(\omega\right)e^{-i \omega \tau} }[/math]

Решив относительно [math]\displaystyle{ H\left(\omega\right) }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ H\left(\omega\right) = \frac{a + be^{-i \omega \tau}} {1 - ce^{-i \omega \tau}} }[/math]

См. также