Горизонт Киллинга
В физике горизонт Киллинга — это нулевая гиперповерхность[англ.], определяемая обращением в нуль нормы поля Киллинга (оба названы в честь Вильгельма Киллинга)[1].
Плоское пространство-время
В пространстве-времени Минковского, в псевдодекартовых координатах [math]\displaystyle{ (t,x,y,z) }[/math] с сигнатурой [math]\displaystyle{ (+,-,-,-), }[/math] пример горизонта Киллинга представлен ускорением Лоренца (вектор Киллинга пространства-времени)
- [math]\displaystyle{ V = x \, \partial_t + t \, \partial_x. }[/math]
Площадь нормы [math]\displaystyle{ V }[/math] равен
- [math]\displaystyle{ g(V,V)=x^2-t^2=(x+t)(x-t). }[/math]
Следовательно, [math]\displaystyle{ V }[/math] имеет значение NULL только на гиперплоскостях уравнений
- [math]\displaystyle{ x+t=0, \text{ и } x-t=0, }[/math]
так, что вместе взятые, они являются горизонтами Киллинга, созданными [math]\displaystyle{ V }[/math][2].
С горизонтом Киллинга связана геометрическая величина, известная как поверхностная гравитация, [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]. Если поверхностная гравитация исчезает, горизонт Киллинга называется вырожденным.
Горизонты Киллинга чёрной дыры
Точные метрики чёрной дыры, такие как метрика Керра — Ньюмана, содержат горизонты Киллинга, которые совпадают с их эргосферой. Для этого пространства-времени горизонт Киллинга расположен в
- [math]\displaystyle{ r = r_e := M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2 \cos^2 \theta}. }[/math]
В обычных координатах за пределами горизонта Киллинга поле [math]\displaystyle{ \partial / \partial t }[/math] вектора Киллинга подобно времени, а внутри — подобно пространству. Температура излучения Хокинга связана с поверхностной гравитацией [math]\displaystyle{ c^2\kappa }[/math] на [math]\displaystyle{ T_H = \frac{\hbar c\kappa}{2 \pi k_B} }[/math] с :[math]\displaystyle{ k_B }[/math][3].
Космологические горизонты Киллинга
Пространство Де Ситтера имеет горизонт Киллинга радиуса [math]\displaystyle{ r = \sqrt{3 / \Lambda} }[/math], который испускает тепловое излучение при температуре [math]\displaystyle{ T = (1 / 2 \pi) \sqrt{\Lambda / 3} }[/math].
Примечания
- ↑ Харви Реалл. Чёрные дыры. — 2008. — P. 17.
- ↑ П. Т. Хрусьцель. Чёрные дыры: введение. в "100 лет теории относительности", под редакцией А. Аштекара, World Scientific, 2005 год.
- ↑ [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана