Гипотеза Сельберга о дзета-функции

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвуда. Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул гипотезу, что при фиксированном [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] с условием [math]\displaystyle{ 0\lt \varepsilon \lt 0.001 }[/math], достаточно большом [math]\displaystyle{ T }[/math] и [math]\displaystyle{ H = T^{a+\varepsilon} }[/math], [math]\displaystyle{ a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246} }[/math], промежуток [math]\displaystyle{ (T,T+H) }[/math] содержит не менее [math]\displaystyle{ cH\ln T }[/math] вещественных нулей дзета-функции Римана [math]\displaystyle{ \zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr) }[/math]. Сельберг доказал справедливость утверждения для случая [math]\displaystyle{ H\ge T^{1/2+\varepsilon} }[/math].

Доказательство гипотезы

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при [math]\displaystyle{ T\to +\infty }[/math].

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков [math]\displaystyle{ (T,T+H] }[/math], [math]\displaystyle{ H = T^{\varepsilon} }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках [math]\displaystyle{ (T, T+H] }[/math], длина [math]\displaystyle{ H }[/math] которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени [math]\displaystyle{ T }[/math]. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon_{1} }[/math] с условием [math]\displaystyle{ 0\lt \varepsilon, \varepsilon_{1}\lt 1 }[/math] почти все промежутки [math]\displaystyle{ (T,T+H] }[/math] при [math]\displaystyle{ H\ge\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}} }[/math] содержат не менее [math]\displaystyle{ H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}} }[/math] нулей функции [math]\displaystyle{ \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) }[/math]. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.