Гипотеза Даффина — Шаффера
Гипотеза Даффина — Шаффера — важная гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Р. Даффином и А. Шеффером в 1941 году. [1] Она утверждает, что если [math]\displaystyle{ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+ }[/math]— вещественная функция, принимающая положительные значения, то почти для всех [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] (относительно меры Лебега) неравенство
- [math]\displaystyle{ \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | \lt \frac{f(q)}{q} }[/math]
имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах [math]\displaystyle{ p,q }[/math] ([math]\displaystyle{ q \gt 0 }[/math]) тогда и только тогда, когда
- [math]\displaystyle{ \sum_{q=1}^\infty f(q) \frac{\varphi(q)}{q} = \infty, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \varphi(q) }[/math]— функция Эйлера.
Многомерный аналог этой гипотезы был доказан Воганом и Поллингтоном в 1990 году. [2] [3] [4]
История
Из леммы Бореля – Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. [5] Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.
Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина – Шеффера. В 1970 году Пол Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа [math]\displaystyle{ c \gt 0 }[/math] такая, что для каждого целого числа [math]\displaystyle{ n }[/math] или [math]\displaystyle{ f(n) = c/n }[/math], или [math]\displaystyle{ f(n) = 0 }[/math]. [2] [6] В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай [math]\displaystyle{ f(n) = O(n^{-1}) }[/math]. [7] [8] Совсем недавно Хейнс, Поллингтон и Велани еще более усилили результат[9], гипотеза верна, если существует число [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], такое что ряд
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{f(n)}{n}\right)^{1 + \varepsilon} \varphi(n) = \infty }[/math].
В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в «Annals of Mathematics». [10]
В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили доказательство этой гипотезы Даффина — Шаффера. [11]
Примечания
- ↑ R. J.; Duffin. Khintchine's problem in metric diophantine approximation (англ.) // Duke Math. J.[англ.] : journal. — 1941. — Vol. 8, no. 2. — P. 243—255. — doi:10.1215/S0012-7094-41-00818-9.
- ↑ 2,0 2,1 Montgomery, Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis (англ.). — 1994. — Vol. 84.
- ↑ A.D.; Pollington. The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture (англ.) // Mathematika[англ.] : journal. — 1990. — Vol. 37. — P. 190—200. — ISSN 0025-5793. — doi:10.1112/s0025579300012900.
- ↑ Harman (2002) p. 69
- ↑ Harman (2002) p. 68
- ↑ Harman (1998) p. 27
- ↑ Department of Mathematics. (недоступная ссылка)
- ↑ Harman (1998) p. 28
- ↑ A. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
- ↑ Victor; Beresnevich. A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2006. — Vol. 164. — P. 971—992. — ISSN 0003-486X. — doi:10.4007/annals.2006.164.971. — arXiv:math/0412141.
- ↑ D.; Koukoulopoulos. On the Duffin–Schaeffer conjecture (неопр.). — 2019. — arXiv:1907.04593.
Литература
- Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). "One hundred years of normal numbers". In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
Ссылки
- Статья из журнала Quanta о гипотезе Даффина-Шеффера. Архивная копия от 14 сентября 2019 на Wayback Machine