Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] и последовательность событий [math]\displaystyle{ \{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F} }[/math]. Обозначим

[math]\displaystyle{ A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m \right) }[/math].

Тогда если ряд [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) }[/math] сходится, то [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(A) = 0 }[/math].

Вторая лемма

Если все события [math]\displaystyle{ \{A_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math] совместно независимы, и ряд [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) }[/math] расходится, то [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(A) = 1 }[/math].

Замечание

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

См. также

• Закон нуля или единицы;
• Теорема о бесконечных обезьянах;
• Борель, Эмиль;
• Кантелли, Франческо Паоло;
• Конвергенция Куратовского

Ссылки

• Prokhorov, A.V. (2001), Borel–Cantelli lemma, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4