Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Синий график [math]\displaystyle{ \prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p} }[/math] для уравнения [math]\displaystyle{ y^2 = x^3 - 5x }[/math], где [math]\displaystyle{ N_p }[/math] — количество точек на кривой по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math].
[math]\displaystyle{ X }[/math] находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — [math]\displaystyle{ \log(\log(X)) }[/math]; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае [math]\displaystyle{ y^2 = x^3-5x }[/math] ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия, за решение которой институтом Клэя предложен приз в $1 млн.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг [math]\displaystyle{ r }[/math] эллиптической кривой [math]\displaystyle{ E }[/math] над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля [math]\displaystyle{ L(E,s) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ s=1 }[/math]. Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел [math]\displaystyle{ B_E=\lim\limits_{s \to 1} \frac{L(E,s)}{(s-1)^r} }[/math], где значение [math]\displaystyle{ B_E }[/math] зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположено , что верна асимптотика

[math]\displaystyle{ \prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ при } x \rightarrow \infty }[/math]

где [math]\displaystyle{ N_p }[/math] — число целых точек на кривой [math]\displaystyle{ E }[/math] с рангом [math]\displaystyle{ r }[/math] по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] — константа.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых.

Наиболее важные результаты

В 1977 году Джон Коутс и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая [math]\displaystyle{ E }[/math] содержит бесконечно много рациональных точек, то [math]\displaystyle{ L(E,1)=0 }[/math].

В 1986 году Бенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при [math]\displaystyle{ s = 1 }[/math], то она имеет рациональную точку бесконечного порядка (теорема Гросса – Цагира);

В 1989 году Виктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая [math]\displaystyle{ E }[/math], для которой [math]\displaystyle{ L(E,1) }[/math] не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая [math]\displaystyle{ E }[/math], для которой [math]\displaystyle{ L(E,1) }[/math] имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.

В 1991 году Карл Рубин показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем [math]\displaystyle{ K }[/math] с комплексным умножением на [math]\displaystyle{ K }[/math], если [math]\displaystyle{ L }[/math]-ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел [math]\displaystyle{ p\gt 7 }[/math].

В 1999 году Кристоф Брёйль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что [math]\displaystyle{ L }[/math]-функции всех эллиптических кривых над [math]\displaystyle{ Q }[/math] определены при s = 1.

В 2015 году Арул Шанкар и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг группы Морделла – Вейля для эллиптической кривой над [math]\displaystyle{ Q }[/math] ограничен сверху величиной 7/6.

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
• Бёрч, Брайан (1965). «Notes on Elliptic Curves (II)». J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79–108. doi:10.1515/crll.1965.218.79.