Гармоническая четвёрка

A, B, C, D — гармоническая четвёрка точек.

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых [math]\displaystyle{ (ABCD)=-1 }[/math]. В этом случае говорят также, что точки [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] гармонически сопряжены относительно [math]\displaystyle{ A,B }[/math] и пишут [math]\displaystyle{ H(AB,CD) }[/math].

Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] в проективной плоскости, проходящих через одну точку [math]\displaystyle{ S }[/math], для которых любая четвёрка точек [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ A\in a, B\in b, C\in c, D\in d }[/math], находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут [math]\displaystyle{ H(ab,cd) }[/math].

Свойства

• Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
• На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.^{[уточнить]}
• На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.^{[уточнить]}
• Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или окружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.

Построение

• Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
• На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN, MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D.
• Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема: Для точки K прямая Чевы (например LD) треугольника ALB и прямая MN, соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM, делят противоположную сторону AB гармонически.

Пример гармонической четвёрки точек

• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек.
• Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности.

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости

• Если точка [math]\displaystyle{ D_\infty }[/math] несобственная, то четвёрка [math]\displaystyle{ A,B,C,D_\infty }[/math] гармоническая, если [math]\displaystyle{ C }[/math] — середина отрезка [math]\displaystyle{ AB }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] — полный четырёхвершинник и его диагональные точки [math]\displaystyle{ P_\infty,Q_\infty }[/math] — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
• Если [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка [math]\displaystyle{ R_\infty=BC\cap AD }[/math] — несобственная, [math]\displaystyle{ P=AB\cap CD, Q=AC\cap BD }[/math], то на расширенной евклидовой плоскости [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что [math]\displaystyle{ PQ }[/math] делит [math]\displaystyle{ AD }[/math] пополам.

Литература

• Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М.: Просвещение, 1975.

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.

• Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1980.

• Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.

• Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева. — М., 1959.