Высота многочлена

Высота и длина многочлена P с комплексными коэффициентами — это величины, обозначающие «размер» многочлена.

Также эти термины используются по отношению к самим алгебраическим числам: высота и длина алгебраического числа — это высота и длина его минимального многочлена.

Определение

Для многочлена P степени n, заданного формулой

[math]\displaystyle{ P = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n , }[/math]

высота H(P) — это максимальная (по модулю) величина его коэффициентов:

[math]\displaystyle{ H(P) = \underset{i}{\max} \,|a_i|, }[/math]

а длина L(P) — это сумма модулей величин коэффициентов:

[math]\displaystyle{ L(P) = \sum_{i=0}^n |a_i|.\, }[/math]

Связь с мерой Малера

Мера Малера M(P) многочлена P также является мерой размера многочлена P. Три функции H(P), L(P) и M(P) связаны неравенствами

[math]\displaystyle{ \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}^{-1} H(P) \le M(P) \le H(P) \sqrt{n+1} ; }[/math]

[math]\displaystyle{ L(p) \le 2^n M(p) \le 2^n L(p) ; }[/math]

[math]\displaystyle{ H(p) \le L(p) \le n H(p) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \scriptstyle \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} }[/math] — биномиальный коэффициент.

Ссылки

• Polynomial height at Mathworld