Волноводные моды

Стрелками на рисунке указаны направления нормалей к волновым поверхностям зигзагообразных волн, соответствующих волноводной моде.

Для изучения явления волновых вод мы предположим, что по координате х свет ограничен (∆х – толщина волноводного слоя). Тогда рассмотрим распространение по координате z. Также, стоит учесть, что структура и свет однородны в направлении оси y (y перпендикулярен x и z). Волна испытывает полное внутреннее отражение на границах пленки. Все излучаемые волны монохроматичны и когерентны, их угловая частота равна ω, длина волны в вакууме λ, а волновой вектор в направлении нормали к волновой поверхности равен [math]\displaystyle{ kn_1 }[/math]kn1 , где [math]\displaystyle{ k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{c} }[/math]

Постоянная распространения β для волноводной моды в плоском волноводе : [math]\displaystyle{ \beta=\frac{\omega}{\nu}=kn_1sin\theta }[/math] , где [math]\displaystyle{ \nu }[/math]-фазовая скорость. Угол [math]\displaystyle{ \theta }[/math] для каждой моды собственный и не может принимать любые значения, т.к. только дискретный набор углов приводит к согласованной картине распределения поля, которая соответствует тому, что мы называем волноводной модой.

Рассмотрим поперечное сечение волновода плоскостью z = const. Сумма сдвигов фаз, образовавшихся при распространении луча света от границы с подложкой к границе с покровным слоем и его отражения от последней, должна быть кратна [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] . Сдвиг фазы за начальный проход пленки равен [math]\displaystyle{ k_{}n_{1}h_{}\cos\Theta_{} }[/math], сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - покровный слой равен [math]\displaystyle{ -2\varphi_{12} }[/math], сдвиг за следующий проход от этой границы [math]\displaystyle{ k_{}n_{1}h_{}\cos\Theta_{} }[/math] и сдвиг из-за полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - подложка равен [math]\displaystyle{ -2\varphi_{13} }[/math].

Таким образом, получаем условие поперечного резонанса :

[math]\displaystyle{ 2k_{}n_{1}h_{}\cos\Theta_{}-2\varphi_{12}-2\varphi_{13}=2 \pi m_{} }[/math], где m-целое число, номер моды волновода.

Величина [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] является функцией угла [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] :

для ТМ-мод

[math]\displaystyle{ tg \varphi_{12,\Tau\Mu}=\frac{\frac{n_{1}^2}{n_{2}^2}\cdot\surd (n_{1}^2 sin\Theta_{}^2 - n_{2}^2)}{n_{1}\cos\Theta_{}} }[/math]

для ТЕ-мод

[math]\displaystyle{ tg \varphi_{12,\Tau E}=\frac{\surd (n_{1}^2 sin\Theta_{}^2 - n_{2}^2)}{n_{1}\cos\Theta_{}} }[/math]

Эффективный показатель преломления волновода :

[math]\displaystyle{ n_{eff}=\frac{\beta}{k}=n_{1}\sin\Theta }[/math]

[math]\displaystyle{ kn_2\lt \beta\lt kn_1 }[/math] , [math]\displaystyle{ n_2\lt n_{eff}\lt n_1 }[/math]