Перейти к содержанию

Вероятность перехода

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Вероятностью перехода называется вероятность квантовой системы перейти из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние под воздействием какого-либо возмущения.

В теории возмущений вероятность перехода даётся формулой:

[math]\displaystyle{ w_{fi}=\frac{1}{\hbar^2}\left|\int_{-\infty}^{+\infty}V_{fi}(t)e^{i\omega_{fi}t}dt\right|^2 }[/math]

где [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] - начальное [math]\displaystyle{ |i\rangle }[/math] и конечное [math]\displaystyle{ |f\rangle }[/math] состояния системы,

[math]\displaystyle{ V_{fi}(t) \ }[/math] - матричный элемент оператора возмущения [math]\displaystyle{ \langle f |\hat V(t)| i\rangle \ }[/math],

[math]\displaystyle{ \omega_{fi} \ }[/math] - разность энергий двух стационарных состояний [math]\displaystyle{ (E_f-E_i)/\hbar \ }[/math].

Вышеуказанная формула справедлива в первом порядке теории возмущений, т.е. когда [math]\displaystyle{ V_{fi} \ll \hbar\omega_{fi} \ }[/math]. Предполагается что возмущение [math]\displaystyle{ \hat V \ }[/math] затухает при [math]\displaystyle{ t \to\pm\infty \ }[/math]. Для определения вероятности перехода на конечный момент времени [math]\displaystyle{ t \ }[/math] надо положить верхний предел интеграла равным [math]\displaystyle{ t \ }[/math], что эквивалентно выключению взаимодействия в этот момент времени.

Важным случаем является переход под воздействием периодического возмущения частоты [math]\displaystyle{ \omega \ }[/math]: [math]\displaystyle{ V_{fi}(t)=\tilde V_{fi}e^{-i\omega t} \ }[/math]. Считая включение потенциала экспоненциальным [math]\displaystyle{ V_{fi}(t)=\tilde V_{fi}e^{-i\omega t+\lambda t} \ }[/math] , находим:

[math]\displaystyle{ w_{fi}(t)=\frac{1}{\hbar^2}\left|\int_{-\infty}^{t}\tilde V_{fi}e^{i(\omega_{fi}-\omega) t+\lambda t}dt\right|^2=\frac{1}{\hbar^2}\left|\tilde V_{fi}\right|^2\frac{e^{2\lambda t}}{(\omega_{fi}-\omega)^2+\lambda^2} }[/math]

Откуда в адиабатическом пределе [math]\displaystyle{ \lambda\to0 \ }[/math] для вероятности перехода в единицу времени получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}w_{fi}(t)=\frac{2\pi}{\hbar^2}\left|\tilde V_{fi}\right|^2\delta(\omega_{fi}-\omega) }[/math]

Данный результат тесно связан с золотым правилом Ферми, которое получается суммированием по конечным состояниям [math]\displaystyle{ f \ }[/math], (полагая также [math]\displaystyle{ \omega=0 \ }[/math]).

Литература