Вариация (математика)

Вариация (от лат. variation — перемена, изменение) — термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines» для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Понятие «вариация» было введено в рамках метода вариаций исследования экстремальных задач, основанного на малых смещениях аргумента и изучения того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название раздела математики, изучающего данную проблематику — «вариационное исчисление»).

Связанные определения

Рассмотрим некоторое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math], на котором задан функционал [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], и [math]\displaystyle{ V }[/math] — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента [math]\displaystyle{ x_0 \in X }[/math], понимают обычно кривую [math]\displaystyle{ x(t, v) }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha \leqslant t \leqslant \beta }[/math] при [math]\displaystyle{ \alpha \leqslant 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \beta \geqslant 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ v \in V }[/math], в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], проходящую через [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] в определённой близости от ограничений, причём [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] соответствует значение [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math]. Таким образом, когда [math]\displaystyle{ v }[/math] пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда [math]\displaystyle{ V = X }[/math] и [math]\displaystyle{ x(t, v) = x_0 + tv }[/math]. В этом случае вариацией называется вектор [math]\displaystyle{ v }[/math]. Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации, вариации, связанные со скользящими режимами.

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.

См. также

• Вариационное исчисление
• Вариация функционала
• Вариация функции
• Вариация Гато
• Вариация Фреше
• Функциональная производная