Бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысл не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.

Определение

Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k} = b_{i} }[/math], [math]\displaystyle{ i=1, 2, ... }[/math]. Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел [math]\displaystyle{ \left \{ x_{k} \right \} }[/math], такая, что все ряды [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k} }[/math], [math]\displaystyle{ i=1,2, ... }[/math] являются сходящимися к [math]\displaystyle{ b_{i} }[/math]. Решение [math]\displaystyle{ \left \{ x_{k} \right \} }[/math] бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа [math]\displaystyle{ x_{k} }[/math] образуют ограниченную последовательность.

Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: [math]\displaystyle{ x_{i} - \sum_{k=1}^{\infty}c_{ik}x_{k} = b_{i} }[/math], [math]\displaystyle{ i=1, 2, ... }[/math], [math]\displaystyle{ c_{ik}=-a_{ik} + \delta_{ik} }[/math]. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная [math]\displaystyle{ q \lt 1 }[/math], что [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \left | c_{ik} \right | \leqslant q }[/math].

Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение [math]\displaystyle{ \left \{ x_{i} \right \} }[/math] при любой ограниченной совокупности свободных членов [math]\displaystyle{ b_{i} }[/math]. При этом, если [math]\displaystyle{ b_{i} \leqslant B }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i=1, 2, ... }[/math], то [math]\displaystyle{ \left | x_{i} \right | \leqslant \frac{B}{1-q} }[/math].

Бесконечный определитель

В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые [math]\displaystyle{ n }[/math] строк и [math]\displaystyle{ n }[/math] столбцов и составить из них квадратную матрицу размером [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]:

[math]\displaystyle{ A(n) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} }[/math]

Обозначим определитель этой матрицы как [math]\displaystyle{ \Delta(n) = det (A(n)) }[/math].

Если существует предел: [math]\displaystyle{ \Delta = \lim_{n \to \infty} \Delta(n) }[/math], то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math].

Достаточное условие существования

Представим матрицу [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:

[math]\displaystyle{ a_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c_{11} + 1 & c_{12} & \cdots \\ c_{21} & c_{22} + 1 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} }[/math]

Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, чтобы бесконечный двойной ряд [math]\displaystyle{ \sum_{i, k=1}^{\infty} | c_{ik} | }[/math] сходился.

Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

Если у матрицы [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ |b_{k}| \lt M_1, \forall k }[/math]), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число [math]\displaystyle{ M_2 }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ |x_{k}| \lt M_1, \forall k }[/math]), определяемое по формулам Крамера:

[math]\displaystyle{ x_{k} = \frac{\Delta_{k}}{\Delta} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \Delta_{k} }[/math] — определитель, который получается из определителя [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] заменой элементов k-го столбца свободными членами.

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений

Литература

• Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики для техников и физиков. Том 3. — М.: Гостехтеориздат, 1933. — 736 с. — 22 000 экз.