Аффинный шифр

Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами.

Описание

В аффинном шифре каждой букве алфавита размера [math]\displaystyle{ m }[/math] ставится в соответствие число из диапазона [math]\displaystyle{ 0 .. m-1 }[/math]. Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования для каждой буквы

[math]\displaystyle{ \mbox{E}(x)=(ax+b)\mod{m}, }[/math]

где модуль [math]\displaystyle{ m }[/math] — размер алфавита, а пара [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — ключ шифра. Значение [math]\displaystyle{ a }[/math] должно быть выбрано таким, что [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] — взаимно простые числа. Функция расшифрования

[math]\displaystyle{ \mbox{D}(x)=a^{-1}(x-b)\mod{m}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] — обратное к [math]\displaystyle{ a }[/math] число по модулю [math]\displaystyle{ m }[/math]. То есть оно удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ 1 = a a^{-1}\mod{m}. }[/math]

Обратное к [math]\displaystyle{ a }[/math] число существует только в том случае, когда [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа [math]\displaystyle{ a }[/math] расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\mbox{D}(\mbox{E}(x)) &= &a^{-1}(\mbox{E}(x)-b)\mod{m}\\ &= &a^{-1}(((ax+b)\mod{m})-b)\mod{m} \\ &= &a^{-1}(ax+b-b)\mod{m} \\ &= &a^{-1}ax \mod{m}\\ & = &x\mod{m}. \end{matrix} }[/math]

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как [math]\displaystyle{ \varphi(m)m }[/math].

Примеры шифрования и расшифрования

В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Шифрование

В этом примере необходимо зашифровать сообщение «ATTACK AT DAWN», используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения [math]\displaystyle{ a=3 }[/math], [math]\displaystyle{ b=4 }[/math] и [math]\displaystyle{ m=26 }[/math], так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число [math]\displaystyle{ a }[/math] наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения [math]\displaystyle{ a }[/math]: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25. Значение [math]\displaystyle{ b }[/math] может быть любым, только если [math]\displaystyle{ a }[/math] не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования [math]\displaystyle{ y=E(x)=(3x+4)\pmod{26} }[/math]. Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
[math]\displaystyle{ x }[/math]	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Теперь, для каждого значения [math]\displaystyle{ x }[/math] найдем значение [math]\displaystyle{ (3x+4) }[/math]. После нахождения значения [math]\displaystyle{ (3x+4) }[/math] для каждого символа возьмем остаток от деления [math]\displaystyle{ (3x+4) }[/math] на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
[math]\displaystyle{ x }[/math]	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
[math]\displaystyle{ 3x+4 }[/math]	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
[math]\displaystyle{ (3x+4)\pmod{26} }[/math]	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет «EJJEKIEJNESR». Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
[math]\displaystyle{ x }[/math]	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
[math]\displaystyle{ 3x+4 }[/math]	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
[math]\displaystyle{ (3x+4)\pmod{26} }[/math]	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R

Расшифрование

Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет [math]\displaystyle{ \mbox{D}(y)=a^{-1}(y+m-b)\mbox{ mod }m }[/math], где [math]\displaystyle{ a^{-1}=9 }[/math], [math]\displaystyle{ b=4 }[/math] и [math]\displaystyle{ m=26 }[/math].

Замечание: если каждая [math]\displaystyle{ y \geqslant b }[/math], то функция расшифрования принимает вид [math]\displaystyle{ \mbox{D}(y)=a^{-1}(y-b)\mbox{ mod }m }[/math]. (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)

Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
[math]\displaystyle{ y }[/math]	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Теперь для каждого [math]\displaystyle{ y }[/math] необходимо рассчитать [math]\displaystyle{ 9(y+m-4) }[/math] и взять остаток от деления этого числа на 26. таблица показывает результат этих вычислений.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
[math]\displaystyle{ y }[/math]	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
[math]\displaystyle{ 9(y+26-4) }[/math]	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
[math]\displaystyle{ 9(y+26-4)\pmod{26} }[/math]	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет «ATTACKATDAWN». Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
[math]\displaystyle{ y }[/math]	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
[math]\displaystyle{ 9(y+26-4) }[/math]	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
[math]\displaystyle{ 9(y+26-4)\pmod{26} }[/math]	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
сообщение	A	T	T	A	C	K	A	T	D	A	W	N

programming language

Криптоанализ

Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с [math]\displaystyle{ a=1 }[/math], что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу.

В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е. [math]\displaystyle{ m=33 }[/math]) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения [math]\displaystyle{ a }[/math]). Каждому значению [math]\displaystyle{ a }[/math] могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение [math]\displaystyle{ b }[/math]); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е. [math]\displaystyle{ m=26 }[/math]) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.

Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа, полного перебора, угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найден путём решения системы уравнений. Кроме того, так мы знаем, что [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.