Аргумент Экманна — Хилтона

Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.

Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы [math]\displaystyle{ G }[/math] абелевы. Например, для доказательства коммутативности [math]\displaystyle{ \pi_1(G,e) }[/math] достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в [math]\displaystyle{ G }[/math] и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.

Формулировка и доказательство теоремы

Пусть [math]\displaystyle{ (X, \circ) }[/math] и [math]\displaystyle{ (X, \otimes) }[/math] — две магмы с единицами [math]\displaystyle{ 1_\circ }[/math] и [math]\displaystyle{ 1_\otimes }[/math], причём [math]\displaystyle{ (a \otimes b) \circ (c \otimes d) = (a \circ c) \otimes (b \circ d) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ a,b,c,d \in X }[/math]. Тогда бинарные операции [math]\displaystyle{ \circ }[/math] и [math]\displaystyle{ \otimes }[/math] совпадают и, более того, являются коммутативными и ассоциативными.

Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: [math]\displaystyle{ 1_\circ = 1_\circ \circ 1_\circ = (1_{\otimes} \otimes 1_\circ) \circ (1_\circ \otimes 1_\otimes) = (1_\otimes \circ 1_\circ) \otimes (1_\circ \circ 1_\otimes) = 1_\otimes \otimes 1_\otimes = 1_\otimes }[/math].

Далее, пусть [math]\displaystyle{ a,b \in X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ a \circ b = (1 \otimes a) \circ (b \otimes 1) = (1 \circ b) \otimes (a \circ 1) = b \otimes a = (b \circ 1) \otimes (1 \circ a) = (b \otimes 1) \circ (1 \otimes a) = b \circ a }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ \circ }[/math] и [math]\displaystyle{ \otimes }[/math] совпадают и являются коммутативными.

Наконец, проверим ассоциативность: [math]\displaystyle{ (a \otimes b) \otimes c = (a \otimes b) \otimes (1 \otimes c) = (a \otimes 1) \otimes (b \otimes c) = a \otimes (b \otimes c) }[/math].

Литература

• John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 89)
• John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 100)
• Eckmann, B. & Hilton, P. J. (1962), Group-like structures in general categories. I. Multiplications and comultiplications, Mathematische Annalen Т. 145 (3): 227–255, DOI 10.1007/bf01451367 .
• Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, vol. 38, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, с. 112—119, 521-528 .
• Brown, R.; Higgins, P. J. & Sivera, R. (2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, vol. 15, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, с. 703 .
• Higgins, P. J. (2005), Thin elements and commutative shells in cubical [math]\displaystyle{ \omega }[/math]-categories, Theory and Application of Categories Т. 14: 60–74, <http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/4/14-04abs.html> .
• James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland 
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups