Аппроксимация Паде
Аппроксима́ция Паде́ — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения
- [math]\displaystyle{ f(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \ldots }[/math]
с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты [math]\displaystyle{ a_i }[/math] и [math]\displaystyle{ b_i }[/math] и получить аппроксимант
- [math]\displaystyle{ \frac{a_0 + a_1 z + \ldots + a_L z^L}{b_0 + b_1 z + \ldots + b_M z^M}. }[/math]
Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.
История
Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года[1] (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.
Определение
Пусть имеется разложение функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] в степенной ряд Тейлора:
- [math]\displaystyle{ f(z) = \sum^\infty_{i=0} c_i z^i, }[/math]
где [math]\displaystyle{ c_i }[/math] — коэффициенты ряда.
Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида
- [math]\displaystyle{ [L/M] = \frac{a_0 + a_1 z + \ldots + a_L z^L}{b_0 + b_1 z + \ldots + b_M z^M}, }[/math]
разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет [math]\displaystyle{ L + 1 }[/math] коэффициентов в числителе и [math]\displaystyle{ M + 1 }[/math] — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя[источник не указан 1002 дня].
Таблица Паде
Обобщения
- Многоточечные аппроксимации Паде
- Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
- Аппроксимация функции нескольких переменных
- Матричные аппроксимации Паде
- Аппроксимация Паде — Чебышёва
- Аппроксимация Паде — Фурье
Численные методы нахождения
Примечания
- ↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l’Université de la Sorbonne, 1892.
Библиография
- Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М.: Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.
Ссылки
- Eric W. Weisstein. Padé Approximant (англ.). MathWorld. Дата обращения: 1 августа 2009.
- Бочканов С., Быстрицкий В. Паде-аппроксимация (недоступная ссылка). Библиотека алгоритмов. Дата обращения: 1 августа 2009. Архивировано 15 декабря 2005 года.
- Буслаев В. И. Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации. Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (17 апреля 2008). — Видеозапись. Дата обращения: 1 августа 2009.
- Калюжный О., Коковин В. Применение аппроксимаций Паде к вибрации турбореактивного двигателя. Дата обращения: 2012-17-12.