Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих индексов:

[math]\displaystyle{ T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} }[/math]

Если тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов то такой тензор называется абсолютно антисимметричным тензором.

Для любого тензора U, с компонентами [math]\displaystyle{ U_{ijk\dots} }[/math], можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

[math]\displaystyle{ U_{(ij)k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots}) }[/math] (симметричная часть),

[math]\displaystyle{ U_{[ij]k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots}) }[/math] (антисимметричная часть),

сходно для других индексов.

Под термином «часть» подразумевается, что [math]\displaystyle{ U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots} }[/math]

Свойства

Свёртка тензора A, который антисимметричен по индексам i и j с тензором B, который симметричен по индексам i и j, равна нулю. Доказательство:

[math]\displaystyle{ A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=A_{(ji)k\dots}B_{[ji]k\dots} =-A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=0. }[/math]