Перейти к содержанию

Алгоритм Эдмондса — Карпа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Алгоритм Эдмондса — Карпа решает задачу нахождения максимального потока в транспортной сети. Алгоритм представляет собой частный случай метода Форда — Фалкерсона и работает за время [math]\displaystyle{ O(|V|\cdot |E|^2) }[/math] в графе [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math]. Впервые был опубликован в 1970 году советским учёным Е. А. Диницом. Позже, в 1972 году, был независимо открыт Эдмондсом и Карпом.

Алгоритм

Алгоритм Эдмондса — Карпа — это вариант алгоритма Форда — Фалкерсона, при котором на каждом шаге выбирают кратчайший дополняющий путь из [math]\displaystyle{ s }[/math] в [math]\displaystyle{ t }[/math] в остаточной сети (полагая, что каждое ребро имеет единичную длину). Кратчайший путь находится поиском в ширину.

Описание

  1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
  2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
  3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
    1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью [math]\displaystyle{ c_\min }[/math].
    2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на [math]\displaystyle{ c_\min }[/math], а в противоположном ему — уменьшаем на [math]\displaystyle{ c_\min }[/math].
    3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
  4. Возвращаемся на шаг 2.

Чтобы найти кратчайший путь в графе, используем поиск в ширину:

  1. Создаём очередь вершин О. Вначале О состоит из единственной вершины s.
  2. Отмечаем вершину s как посещённую, без родителя, а все остальные как непосещённые.
  3. Пока очередь не пуста, выполняем следующие шаги:
    1. Удаляем первую в очереди вершину u.
    2. Для всех дуг (u, v), исходящих из вершины u, для которых вершина v ещё не посещена, выполняем следующие шаги:
      1. Отмечаем вершину v как посещённую, с родителем u.
      2. Добавляем вершину v в конец очереди.
      3. Если v = t, выходим из обоих циклов: мы нашли кратчайший путь.
  4. Если очередь пуста, возвращаем ответ, что пути нет вообще и останавливаемся.
  5. Если нет, идём от t к s, каждый раз переходя к родителю. Возвращаем путь в обратном порядке.

Сложность

В процессе работы алгоритм Эдмондса — Карпа будет находить каждый дополняющий путь за время [math]\displaystyle{ O(|E|) }[/math]. Ниже мы докажем, что общее число увеличений потока, выполняемое данным алгоритмом, составляет [math]\displaystyle{ O(|V|\cdot |E|) }[/math]. Таким образом, сложность алгоритма Эдмондса — Карпа равна [math]\displaystyle{ O(|V|\cdot |E|^2) }[/math].

Доказательство

Назовём расстоянием от вершины x до вершины у длину кратчайшего пути от x до y в остаточной сети, измеряемую числом рёбер. Если такого пути нет, будем считать расстояние бесконечным. Будем говорить, что y приблизилась к x (отдалилась от x), если расстояние от x до y уменьшилось (увеличилось). Будем говорить, что y ближе к x (дальше от x), чем z, если расстояние от x до y меньше (больше), чем расстояние от x до z.

Лемма. В ходе работы алгоритма ни одна вершина никогда не приближается к источнику. Доказательство. Пусть это не так, тогда при каком-то увеличении потока некоторые вершины приблизились к источнику. Назовём их неправильными. Выберем ту из неправильных вершин, которая после увеличения потока оказалась ближе всех к источнику (если таких больше одной, то любую из них). Обозначим выбранную вершину через v. Рассмотрим кратчайший путь от s до v. Обозначим предпоследнюю вершину на этом пути через u, таким образом, путь имеет вид [math]\displaystyle{ s - \ldots - u - v }[/math]. Поскольку u ближе к s, чем v, а v — ближайшая к s из неправильных вершин, то u — вершина правильная. Обозначив расстояния от s до u и v до и после увеличения потока соответственно через [math]\displaystyle{ d_u\ }[/math], [math]\displaystyle{ d_u^' }[/math], [math]\displaystyle{ d_v\ }[/math], [math]\displaystyle{ d_v^' }[/math], имеем:

[math]\displaystyle{ d_v^' \lt d_v }[/math]
[math]\displaystyle{ d_u^' \ge d_u }[/math]
[math]\displaystyle{ d_v^' = d_u^' + 1 }[/math],

откуда

[math]\displaystyle{ d_v \ge d_u + 2 }[/math]

Следовательно, до увеличения потока дуга (u, v) отсутствовала в остаточной сети. Чтобы оно появилось, увеличивающий путь должен был содержать дугу (v, u). Но в алгоритме Эдмондса — Карпа увеличивающий путь всегда кратчайший, следовательно,

[math]\displaystyle{ d_v = d_u - 1 }[/math],

что противоречит предыдущему неравенству. Значит, наше предположение было неверным. Лемма доказана.

Назовём критическим то из рёбер увеличивающего пути, у которого остаточная пропускная способность минимальна. Оценим, сколько раз некое ребро (u, v) может оказываться критическим. Пускай это произошло на итерации [math]\displaystyle{ t_1 }[/math], а в следующий раз на итерации [math]\displaystyle{ t_2 }[/math]. Обозначая через [math]\displaystyle{ D_y(t) }[/math] расстояние от s до y на итерации t, имеем:

[math]\displaystyle{ D_v(t_1) = D_u(t_1)+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ D_v(t_2) = D_u(t_2)+1 }[/math]

Заметим, что на итерации [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] критическое ребро исчезает из остаточной сети. Чтобы к моменту итерации [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] ребро (u, v) в ней вновь появилось, необходимо, чтобы на какой-то промежуточной итерации [math]\displaystyle{ t_3 }[/math] был выбран увеличивающий путь, содержащий ребро (v, u). Следовательно,

[math]\displaystyle{ D_u(t_3) = D_v(t_3)+1 }[/math]

Используя ранее доказанную лемму, получаем:

[math]\displaystyle{ D_v(t_2) = D_u(t_2)+1 \ge D_u(t_3)+1 = D_v(t_3)+2 \ge D_v(t_1)+2 }[/math]

Поскольку изначально [math]\displaystyle{ D_v\gt 0 }[/math] (иначе v = s, но ребро, ведущее в s, не может появиться на кратчайшем пути из s в t), и всегда, когда [math]\displaystyle{ D_v }[/math] конечно, оно меньше |V| (кратчайший путь не содержит циклов, и, следовательно, содержит менее |V| рёбер), ребро может оказаться критическим не более [math]\displaystyle{ \frac{(|V|-1)-1}{2} + 1 = |V|/2 }[/math] раз. Поскольку каждый увеличивающий путь содержит хотя бы одно критическое ребро, а всего рёбер, которые могут когда-то стать критическими, [math]\displaystyle{ 2|E| }[/math] (все рёбра исходной сети и им противоположные), то мы можем увеличить путь не более |Е|·|V| раз. Следовательно, число итераций не превышает O(|E|·|V|), что и требовалось доказать.

Пример

Пусть задана сеть с истоком в вершине [math]\displaystyle{ A }[/math] и стоком в вершине [math]\displaystyle{ G }[/math]. На рисунке парой [math]\displaystyle{ f/c }[/math] обозначен поток по этому ребру и его пропускная способность.

Поиск в ширину

Опишем поиск в ширину на первом шаге.

  1. Очередь состоит из единственной вершины A. Посещена вершина A. Родителя нет.
  2. Очередь состоит (от начала к концу) из вершин B и D. Посещены вершины A, B, D. Вершины B, D имеют родителя А.
  3. Очередь состоит из вершин D и C. Посещены A, B, C, D. Вершины B, D имеют родителя А, вершина C — родителя B.
  4. Очередь состоит из вершин C, E, F. Посещены A, B, C, D, E, F. Вершины B, D имеют родителя А, вершина C — родителя B, вершины E, F — родителя D.
  5. Вершина C удаляется из очереди: рёбра из неё ведут только в уже посещённые вершины.
  6. Обнаруживается ребро (E,G) и цикл останавливается. В очереди вершины (F,G). Посещены все вершины. Вершины B,D имеют родителя А, вершина C — родителя B, вершины E,F — родителя D, вершина G — родителя E.
  7. Идём по родителя: [math]\displaystyle{ G \to E \to D \to A }[/math]. Возвращаем пройденный путь в обратном порядке: [math]\displaystyle{ A \to D \to E \to G }[/math].

Заметим, что в очередь последовательно добавляли вершины, достижимые из A ровно за 1 шаг, ровно за 2 шага, ровно за 3 шага. Кроме того, родителем каждой вершины является вершина, достижимая из A ровно на 1 шаг быстрее.

Основной алгоритм

Пропускная способность пути Путь
[math]\displaystyle{ \min(c_f(A,D),c_f(D,E),c_f(E,G)) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \min(3-0, 2-0, 1-0) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(3,2,1) = 1 }[/math]

 [math]\displaystyle{ A,D,E,G }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(c_f(A,D),c_f(D,F),c_f(F,G)) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \min(3-1, 6-0, 9-0) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(2,6,9) = 2 }[/math]

 [math]\displaystyle{ A,D,F,G }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(c_f(A,B),c_f(B,C),c_f(C,D),c_f(D,F),c_f(F,G)) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \min(3-0, 4-0, 1-0, 6-2, 9-2) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(3,4,1,4,7) = 1 }[/math]

 [math]\displaystyle{ A,B,C,D,F,G }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(c_f(A,B),c_f(B,C),c_f(C,E),c_f(E,D),c_f(D,F),c_f(F,G)) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \min(3-1, 4-1, 2-0, 0--1, 6-3, 9-3) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \min(2,3,2,1,3,6) = 1 }[/math]

 [math]\displaystyle{ A,B,C,E,D,F,G }[/math]

Отметим, что в процессе выполнения алгоритма длины дополняющих путей (на рисунках обозначены красным) не убывают. Это свойство выполняется благодаря тому, что мы ищем кратчайший дополняющий путь.

Алгоритм Диница

Основная статья: Алгоритм Диница

Улучшенной версией алгоритма Эдмондса-Карпа является алгоритм Диница, требующий [math]\displaystyle{ O(|V|^2|E|) }[/math] операций.

Назовём вспомогательной бесконтурной сетью графа G с источником s его подграф, содержащий только такие рёбра (u, v), для которых минимальное расстояние от s до v на единицу больше минимального расстояния от s до u.

Алгоритм Диница:

  1. Строим минимальную бесконтурную сеть остаточного графа.
  2. Пока в сети есть путь из s в t, выполнить следующие шаги:
    1. Находим кратчайший путь из s в t. Если его нет, выйти из цикла.
    2. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью [math]\displaystyle{ c_\min }[/math].
    3. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на [math]\displaystyle{ c_\min }[/math], а в противоположном ему — уменьшаем на [math]\displaystyle{ c_\min }[/math].
    4. Удаляем все рёбра, достигшие насыщения.
    5. Удаляем все тупики (то есть вершины, кроме стока, откуда не выходит рёбер, и вершины, кроме источника, куда рёбер не входит) вместе со всеми инцидентными им рёбрами.
    6. Повторяем предыдущий шаг, пока есть что удалять.
  3. Если найденный поток ненулевой, добавляем его к общему потоку и возвращаемся на шаг 1.

Ссылки

Литература

  • Томас Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Алгоритм_Эдмондса_—_Карпа&oldid=5845408