Алгебра Мальцева
Алгебра Мальцева — неассоциативная алгебра [math]\displaystyle{ M }[/math] над полем [math]\displaystyle{ F }[/math], в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:
- условию антисимметричности:
- [math]\displaystyle{ g (A, B) =-g (B, A) }[/math]
- для всех [math]\displaystyle{ A,B \in M }[/math].
- тождеству Мальцева:
[math]\displaystyle{ J (A_1, A_2, g (A_1, A_3)) = g(J (A_1, A_2, A_3),A_1) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ A_k \in M }[/math], где [math]\displaystyle{ k=1,2, \dots ,6 }[/math], и [math]\displaystyle{ J (A, B, C):= g (g (A, B), C)+g (g (B, C), A)+g (g (C, A), B). }[/math]
- условию билинейности:
- [math]\displaystyle{ g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C) }[/math]
для всех [math]\displaystyle{ A,B,C \in M }[/math] и [math]\displaystyle{ a,b \in F }[/math].
Алгебра Мальцева была введена в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.
Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру [math]\displaystyle{ M^{(-)} }[/math]. При этом, если M является альтернативной алгеброй, то [math]\displaystyle{ M^{(-)} }[/math] будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.) Алгебра Мальцева является одним из обобщений алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Мальцева.
Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли. Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева [math]\displaystyle{ M }[/math] над полным нормированным полем [math]\displaystyle{ F }[/math] характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.
Литература
- Мальцев А. И. Математический сборник. — 1955. — Том 36. — № 3. — С. 569-76.
- Мальцев А. И. Избранные труды. Том 1. Классическая алгебра. — М.: Наука, 1976.
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 c.
- Mal’tsev A.I., Algebraic systems. — Springer, 1973.
- Filippov V.T., «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4
- Koulibaly A.A. «Contributions a la theorie des algebres de Mal’cev» Montpellier : Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 1984. Архивная копия от 21 марта 2019 на Wayback Machine
- Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
Ссылки
- Алгебра Мальцева — статья из Математической энциклопедии
- Филиппов В.Т., «Первичные алгебры Мальцева», Матем. заметки, 31:5 (1982), 669—678