Аксиома бесконечности

Аксиомой бесконечности (англ. axiom of infinity) называется следующее высказывание теории множеств:

[math]\displaystyle{ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ ) }[/math], где [math]\displaystyle{ b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\} }[/math]

Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества.

Другие формулировки аксиомы бесконечности

[math]\displaystyle{ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b)))) }[/math]

[math]\displaystyle{ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty))) }[/math]

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

[math]\displaystyle{ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \{b\} \in a)) }[/math], где [math]\displaystyle{ \{b\} }[/math] — множество, единственным элементом которого является [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \mathcal{P}(b) \in a)) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(b) }[/math] — булеан множества [math]\displaystyle{ b }[/math]

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее