Адиабатическая теорема
Адиабатическая теорема — теорема квантовой механики. Впервые была сформулирована Максом Борном и Владимиром Фоком в 1928 году в таком виде:
- Физическая система остаётся в своём мгновенном собственном состоянии, если возмущение действует достаточно медленно и если это состояние отделено энергетической щелью от остального спектра гамильтониана.[1]
Простыми словами, при достаточно медленном изменении внешних условий квантовая система адаптирует свою конфигурацию, однако при быстром переходе, пространственная плотность вероятности остаётся неизменной.
Диабатические vs. адиабатические процессы
Диабатический процесс: Быстрое изменение условий не позволяет системе изменить свою конфигурацию за время процесса, поэтому пространственное распределение плотности вероятности не меняется. Обычно нет собственного состояния конечного гамильтониана совпадающего с начальным состоянием. Поэтому система находится в линейной комбинации состояний, соответствующей начальной волновой функции.
Адиабатический процесс: Медленное изменение условий позволяет системе подстроить свою конфигурацию, поэтому распределение вероятности меняется во время процесса. Если система в начале была в собственном состоянии гамильтониана, она окажется в соответствующем собственном состоянии конечного гамильтониана.[2]
В начальное время [math]\displaystyle{ \scriptstyle{t_0} }[/math] квантовомеханическая система описывается гамильтонианом [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\hat{H}(t_0)} }[/math]; система находится в собственном состоянии [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\psi(x,t_0)} }[/math]. Медленное непрерывное изменение условий приводит в конечный гамильтониан [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\hat{H}(t_1)} }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ \scriptstyle{t_1} }[/math]. Система эволюционирует согласно зависящему от времени уравнению Шрёдингера и оказывается в состоянии [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\psi(x,t_1)} }[/math]. Адиабатическая теорема утверждает, что эволюция критически зависит от времени [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\tau = t_1 - t_0} }[/math].
Для абсолютно адиабитического процесса необходимо [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\tau \rightarrow \infty} }[/math]; в этом случае конечное состояние [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\psi(x,t_1)} }[/math] будет собственным состоянием конечного гамильтониана [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\hat{H}(t_1)} }[/math], с изменёнными координатами:
- [math]\displaystyle{ |\psi(x,t_1)|^2 \neq |\psi(x,t_0)|^2 }[/math].
Степень адиабитичности процесса зависит от энергетической разницы между [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\psi(x,t_0)} }[/math] и сопряжённым состоянием, а также от отношения времени [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\tau} }[/math] и характерного времени эволюции, [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\tau_{int} = 2\pi\hbar/E_0} }[/math], где [math]\displaystyle{ \scriptstyle{E_0} }[/math] энергия [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\psi(x,t_0)} }[/math].
В свою очередь, в пределе [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\tau \rightarrow 0} }[/math] процесс будет диабатическим, и конфигурация останется неизменной:
- [math]\displaystyle{ |\psi(x,t_1)|^2 = |\psi(x,t_0)|^2\quad }[/math].
Так называемое «условие щели», включённое Борном и Фоком в первоначальное определение приведённое выше требует чтобы спектр [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\hat{H}} }[/math] был дискретным и невырожденным, для того чтобы не было неопределённости в упорядочивании собственных состояний. В 1999 году Аврон и Эогарт переформулировали адиабатическую теорему без этого требования.[3]
В термодинамике термин «адиабатический» обычно означает процесс без перетока тепла между системой и окружающей средой (см. адиабатический процесс). Квантовомеханическое определение ближе к термодинамическому понятию квазистатического процесса, и не имеет прямой связи с потоком тепла.
Примечания
- ↑ M. Born and V. A. Fock. Beweis des Adiabatensatzes (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1928. — Bd. 51, Nr. 3—4. — S. 165—180. — doi:10.1007/BF01343193. — .
- ↑ T. Kato. On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics (англ.) // Journal of the Physical Society of Japan : journal. — 1950. — Vol. 5, no. 6. — P. 435—439. — doi:10.1143/JPSJ.5.435. — .
- ↑ J. E. Avron and A. Elgart. Adiabatic Theorem without a Gap Condition (англ.) // Communications in Mathematical Physics : journal. — 1999. — Vol. 203, no. 2. — P. 445—463. — doi:10.1007/s002200050620. — . — arXiv:math-ph/9805022. (недоступная ссылка)