3j-символ

3j-символы Вигнера, называемые также 3jm-символами, находят применение в квантовой механике и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 (-m_3) j_1 j_2\rangle. }[/math]

Обратная связь

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j₁ − j₂ − m₃ это целое число и делая подстановку [math]\displaystyle{ m_3 \rightarrow -m_3 }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 j_1 j_2\rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix}. }[/math]

Симметрия

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_2 & j_3 & j_1\\ m_2 & m_3 & m_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_3 & j_1 & j_2\\ m_3 & m_1 & m_2 \end{pmatrix}. }[/math]

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ m_2 & m_1 & m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ m_1 & m_3 & m_2 \end{pmatrix}. }[/math]

Замена знака квантовых чисел [math]\displaystyle{ m }[/math] также даёт дополнительную фазу:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ -m_1 & -m_2 & -m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}. }[/math]

Правила отбора

3j-символ Вигнера не равен нулю только при выполнении следующих условий:

[math]\displaystyle{ m_1+m_2+m_3=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ j_1+j_2 + j_3 }[/math] — целое,

[math]\displaystyle{ |m_i| \leqslant j_i, }[/math]

[math]\displaystyle{ |j_1-j_2| \leqslant j_3 \leqslant j_1+j_2. }[/math]

Скалярная инвариантность

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

[math]\displaystyle{ \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3} |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} }[/math]

инвариантна при вращениях.

Ортогональность

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

[math]\displaystyle{ (2j+1)\sum_{m_1 m_2} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j\\ m_1 & m_2 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j'\\ m_1 & m_2 & m' \end{pmatrix} =\delta_{j j'}\delta_{m m'}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{j m} (2j+1) \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j\\ m_1 & m_2 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j\\ m_1' & m_2' & m \end{pmatrix} =\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'}. }[/math]

Связь со сферическими гармониками

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

[math]\displaystyle{ \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ l_1 }[/math], [math]\displaystyle{ l_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ l_3 }[/math] являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

[math]\displaystyle{ \int d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_2} Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_3} Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat n}})=(-1)^{m_1+s_1} \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ -s_1 & -s_2 & -s_3 \end{pmatrix}. }[/math]

Прочие свойства

[math]\displaystyle{ \sum_m (-1)^{j+m} \begin{pmatrix} j & j & J\\ m & -m & 0 \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2j+1}{2J+1}}\delta_{J0}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 dx P_{l_1}(x)P_{l_2}(x)P_{l}(x) = \begin{pmatrix} l & l_1 & l_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2. }[/math]

См. также

Литература

Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

Ссылки

Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
WIGXJPF расчёт 3j 6j 9j символов C++ и Python (точный ответ через факторизацию и многобайтные целые числа)