Теплоёмкость идеального газа
Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу [math]\displaystyle{ \delta Q }[/math], к изменению температуры [math]\displaystyle{ dT }[/math], которое при этом произошло [math]\displaystyle{ C = \frac{\delta Q}{dT} }[/math] [1].
Удельная и молярная теплоёмкость
Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества [2]:
- [math]\displaystyle{ C_M = \frac{C}{\nu} = \frac{1}{\nu} \frac{\delta Q}{\Delta T}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \nu = m/M, }[/math] [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса, [math]\displaystyle{ M }[/math] — молярная масса вещества.
Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)[1].
Формула расчёта удельной теплоёмкости[1][2]:
- где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.
Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах
Адиабатический
В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть [math]\displaystyle{ dQ=0 }[/math]. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть [math]\displaystyle{ dT\neq 0 }[/math][3].
Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: [math]\displaystyle{ C = {0 \over dT} = 0 }[/math].
Изотермический
В изотермическом процессе постоянна температура, то есть [math]\displaystyle{ dT=0 }[/math]. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: [math]\displaystyle{ C \to \pm \infty }[/math]
Изохорный
В изохорном процессе постоянен объём, то есть [math]\displaystyle{ \delta V=0 }[/math] и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид[1]:
- [math]\displaystyle{ dU=\delta Q = \nu C_V dT. \qquad (1) }[/math]
А для идеального газа
- [math]\displaystyle{ dU=\frac i2 \nu R \Delta T. }[/math]
Таким образом,
- [math]\displaystyle{ C_V=\frac i2 R, }[/math]
где [math]\displaystyle{ i }[/math] — число степеней свободы частиц газа.
Другая формула:
- [math]\displaystyle{ C_{V}=\frac{R}{\gamma - 1}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — показатель адиабаты, [math]\displaystyle{ R }[/math] — газовая постоянная газа.
Изобарный
Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как [math]\displaystyle{ C_p }[/math]. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера [math]\displaystyle{ C_p = C_v + R }[/math][1]. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики[4]:
- [math]\displaystyle{ \delta Q = \mathrm{d} U + \delta A, \qquad(2) }[/math].
В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:
- [math]\displaystyle{ \delta Q = C_p \mathrm{d} T, }[/math]
Учитываем, что работа газа равна [4]:
- [math]\displaystyle{ \delta A = \mathrm{d} (pV) = nR\mathrm{d} T \qquad = p \mathrm{d} V \qquad + V \mathrm{d} p \qquad=p \mathrm{d} V \qquad, (V \mathrm{d} p \qquad=0) (3) }[/math]
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для одного моля газа[1]:
- [math]\displaystyle{ p \mathrm{d} V = R \mathrm{d} T. \qquad (4) }[/math]
Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:
- [math]\displaystyle{ \delta A = R \mathrm{d} T \qquad (5) }[/math]
Так как энергия одной молекулы равна [math]\displaystyle{ \lt e\gt = \frac{i}{2}kT }[/math] (6)[Комм 1][5], то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.
Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой[5]:
- для общего случая [math]\displaystyle{ C_p = \frac{i+2}{2}R, }[/math]
- для одноатомных газов [math]\displaystyle{ C_p = \frac{5}{2}R, }[/math] то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
- для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами[Комм 2] [math]\displaystyle{ C_p = \frac{7}{2}R, }[/math] то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
- для многоатомных газов с нелинейными молекулами[Комм 2] [math]\displaystyle{ C_p = 4R, }[/math] то есть около 33.3 Дж/(моль·К).
Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).
Теплоёмкость реального газа может значительно отклонятся от теплоёмкости идеального газа. Так при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры[5].
См. также
Комментарии
- ↑ i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы
- ↑ 2,0 2,1 При жёсткой связи между атомами, то есть колебательные степени свободы исключены из рассмотрения. Примером трёхатомной линейной молекулы служит цианистый водород HCN.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Савельев, 2001, с. 26—30.
- ↑ 2,0 2,1 Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 41.
- ↑ 3,0 3,1 Савельев, 2001, с. 30—31.
- ↑ 4,0 4,1 Савельев, 2001, с. 18-20.
- ↑ 5,0 5,1 5,2 Савельев, 2001, с. 61-63.
Литература
- Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
- Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
- Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.