Марковский момент времени

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин [math]\displaystyle{ \{Y_n\}_{n \ge 0} }[/math]. Тогда случайная величина [math]\displaystyle{ \tau }[/math] называется марковским моментом (времени), если для любого [math]\displaystyle{ n \ge 0 }[/math] событие [math]\displaystyle{ \{\tau \le n\} }[/math] зависит только от случайных величин [math]\displaystyle{ Y_0,\ldots, Y_n }[/math].

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ \{Y_n\}_{n \ge 0} }[/math] — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть [math]\displaystyle{ L \in \mathbb{R} }[/math], и

[math]\displaystyle{ \tau = \inf \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \} }[/math]

— момент первого достижения процессом [math]\displaystyle{ \{Y_n\} }[/math] уровня [math]\displaystyle{ L }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — марковский момент, ибо [math]\displaystyle{ \tau \le n }[/math] тогда и только тогда, когда существует [math]\displaystyle{ i\in \mathbb{N},\; 0 \le i \le n }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ Y_i \ge L }[/math]. Таким образом событие [math]\displaystyle{ \{\tau \le n\} }[/math] зависит лишь от поведения процесса до момента времени [math]\displaystyle{ n }[/math].

Пусть теперь

[math]\displaystyle{ \sigma = \sup \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \} }[/math]

— момент последнего достижения процессом [math]\displaystyle{ \{Y_n\} }[/math] уровня [math]\displaystyle{ L }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] не является марковским моментом, ибо событие [math]\displaystyle{ \{\sigma \le n\} }[/math] предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

• Пусть дано вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] с фильтрацией [math]\displaystyle{ \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T} }[/math], где [math]\displaystyle{ T \subset [0, \infty) }[/math]. Тогда случайная величина [math]\displaystyle{ \tau }[/math] принимающая значения в [math]\displaystyle{ T \cup \{\infty\} }[/math] называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если [math]\displaystyle{ \{ \tau \le t \} \in \mathcal{F}_t,\quad \forall t \in T }[/math].

• Если дан процесс [math]\displaystyle{ \{X_t\}_{t \in T} }[/math], и [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_t = \sigma (X_s \mid s \le t) }[/math] — его естественные σ-алгебры, то говорят, что [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — марковский момент относительно процесса [math]\displaystyle{ \{X_t\} }[/math].

• Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}(\tau \lt \infty) = 1 }[/math].

Свойства

Если [math]\displaystyle{ \tau }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — марковские моменты, то

• [math]\displaystyle{ \tau + \sigma }[/math] — марковский момент;
• [math]\displaystyle{ \tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau, \sigma) }[/math] — марковский момент;
• [math]\displaystyle{ \tau \vee \sigma \equiv \max(\tau, \sigma) }[/math] — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ \{W_t\}_{t \ge 0} }[/math] — стандартный винеровский процесс. Пусть [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math]. Определим

[math]\displaystyle{ \tau = \inf \{t \ge 0 \mid W_t \ge \alpha \} }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

[math]\displaystyle{ f_{\tau}(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{2 \pi t^3}}e^{-\frac{\alpha^2}{2t}},\quad t \ge 0 }[/math].

В частности [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — момент остановки. Однако,

[math]\displaystyle{ \mathbb{E} \tau = \infty }[/math].