Timsort

Timsort — гибридный алгоритм сортировки, сочетающий сортировку вставками и сортировку слиянием, опубликованный в 2002 году Тимом Петерсом. В настоящее время Timsort является стандартным алгоритмом сортировки в Python, OpenJDK 7, Apple Swift Standard Library 5 и реализован в Android JDK 1.5. Основная идея алгоритма в том, что в реальном мире сортируемые массивы данных часто содержат в себе упорядоченные подмассивы. На таких данных Timsort существенно быстрее многих алгоритмов сортировки.

Основная идея алгоритма

• По специальному алгоритму входной массив разделяется на подмассивы.
• Каждый подмассив сортируется сортировкой вставками.
• Отсортированные подмассивы собираются в единый массив с помощью модифицированной сортировки слиянием.

Принципиальные особенности алгоритма в деталях, а именно в алгоритме разделения и модификации сортировки слиянием.

Алгоритм

Используемые понятия

• N — размер входного массива
• run — упорядоченный подмассив во входном массиве. Причём упорядоченный либо нестрого по возрастанию, либо строго по убыванию. Т.е:
  • либо «[math]\displaystyle{ a_0 \leqslant a_1 \leqslant a_2 \leqslant ... }[/math]»,
  • либо «[math]\displaystyle{ a_0 \gt a_1 \gt a_2 \gt ... }[/math]»
• minrun — как было сказано выше, на первом шаге алгоритма входной массив будет поделен на подмассивы. minrun — это минимальный размер такого подмассива. Это число рассчитывается по определённой логике из числа N.

Шаг 0. Вычисление minrun.

Алгоритм Timsort ищет в массиве упорядоченные последовательности, называемые run, для ускорения поиска.

(1) Число minrun (минимальный размер упорядоченной последовательности) определяется на основе N исходя из следующих принципов: оно не должно быть слишком большим, поскольку к подмассиву размера minrun будет в дальнейшем применена сортировка вставками, а она эффективна только на небольших массивах.

(2) Оно не должно быть слишком маленьким, поскольку чем меньше подмассив — тем больше итераций слияния подмассивов придётся выполнить на последнем шаге алгоритма. Оптимальная величина для N / minrun это степень числа 2 (или близким к нему). Это требование обусловлено тем, что алгоритм слияния подмассивов наиболее эффективно работает на подмассивах примерно равного размера.

В этом месте автор алгоритма ссылается на собственные эксперименты, показавшие, что при minrun > 256 нарушается пункт (1), при minrun < 8 — пункт (2) и наиболее эффективно использовать значения из диапазона (32;65). Исключение — если N < 64, тогда minrun = N и timsort превращается в простую сортировку вставкой. В данный момент алгоритм расчёта minrun предельно прост: берутся старшие 6 бит из N и добавляется единица, если в оставшихся младших битах есть хотя бы один ненулевой. Псевдокод:

Java

    public static int getMinrun(int n) {
        // равно 1, если среди сдвинутых битов есть хотя бы один ненулевой
        int r = 0;
        while (n >= 64) {
            r |= (n & 1);
            n >>= 1;
        }
        return n + r;
    }

Шаг 1. Разбиение на подмассивы и их сортировка.

• Указатель текущего элемента ставится в начало входного массива.
• Начиная с текущего элемента, в этом массиве идёт поиск упорядоченного подмассива run. По определению, в run однозначно войдет текущий элемент и следующий за ним. Если получившийся подмассив упорядочен по убыванию — элементы переставляются так, чтобы они шли по возрастанию.
• Если размер текущего run’а меньше, чем minrun — выбираются следующие за найденным run-ом элементы в количестве minrun-size(run). Таким образом, на выходе будет получен подмассив размером minrun или больше, часть которого (а в идеале — он весь) упорядочена.
• К данному подмассиву применяется сортировка вставками. Так как размер подмассива невелик и часть его уже упорядочена — сортировка работает быстро и эффективно.
• Указатель текущего элемента ставится на следующий за подмассивом элемент.
• Если конец входного массива не достигнут — переход к пункту 2, иначе — конец данного шага.

Шаг 2. Слияние.

Если данные входного массива были близки к случайным — размер упорядоченных подмассивов близок к minrun, если в данных были упорядоченные диапазоны — упорядоченные подмассивы имеют размер, превышающий minrun.

Нужно объединить эти подмассивы для получения результирующего, полностью упорядоченного массива. Для достижения эффективности объединение должно удовлетворять двум требованиям:

• Объединять подмассивы примерно равного размера
• Сохранить стабильность алгоритма — то есть не делать бессмысленных перестановок.

Алгоритм:

• Создается пустой стек пар <индекс начала подмассива>-<размер подмассива>. Берётся первый упорядоченный подмассив.
• В стек добавляется пара данных <индекс начала>-<размер> для текущего подмассива.
• Определяется, нужно ли выполнять процедуру слияния текущего подмассива с предыдущими. Для этого проверяется выполнение двух правил (пусть X, Y и Z — размеры трёх верхних в стеке подмассивов):

   Z > Y + X
   Y > X

• Если одно из правил нарушается — массив Y сливается с меньшим из массивов X и Z. Повторяется до выполнения обоих правил или полного упорядочивания данных.
• Если еще остались не рассмотренные подмассивы — берётся следующий и переходим к пункту 2. Иначе — конец.

Цель этой процедуры — сохранение баланса. Изменения будут выглядеть как на картинке справа, а значит, размеры подмассивов в стеке эффективны для дальнейшей сортировки слиянием. В идеальном случае: есть подмассивы размера 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 2. В этом случае никакие слияния не выполнятся, пока не встретятся 2 последних подмассива, после чего будут выполнены 7 идеально сбалансированных слияний.

Процедура слияния подмассивов

Элемент временного массива(выделенный голубой стрелкой) сравнивается с наименьшим элементом большого массива и меньший из них перемещается в новый отсортированный массив (как показано красной стрелкой).

Процедура слияния совершает обход и сравнение в зависимости от того, как расположены подмассивы, таким образом, для реализации алгоритма необходимы процедуры обхода слева направо (если меньший массив находится слева) и справа налево (если меньший массив находится справа). На практике обычно ограничиваются первой процедурой и выбирают левый массив независимо от его размера— это почти не влияет на скорость сортировки.

1. Создаётся временный массив в размере меньшего из соединяемых подмассивов.
2. Меньший из подмассивов копируется во временный массив
3. Указатели текущей позиции ставятся на первые (последние) элементы большего и временного массива.
4. На каждом следующем шаге рассматривается значение текущих элементов в большем и временном массивах, берётся меньший (больший) из них и копируется в новый отсортированный массив. Указатель текущего элемента перемещается в массиве, из которого был взят элемент.
5. Пункт 4 повторяется, пока один из массивов не закончится.
6. Все элементы оставшегося массива добавляются в конец нового массива.

Модификация процедуры слияния подмассивов (Galloping Mode)

Все красные элементы меньше чем синие и сразу могут быть перемещены в выходной массив

Представим себе процедуру слияния следующих массивов:

A = {1, 2, 3,..., 9999, 10000}
B = { 20000, 20001, ...., 29999, 30000}

Вышеуказанная процедура для них сработает, но каждый раз на её четвёртом пункте нужно будет выполнить одно сравнение и одно копирование. В итоге 10000 сравнений и 10000 копирований. Алгоритм Timsort предлагает в этом месте модификацию, которую он называет «галоп». Алгоритм:

• Начинается процедура слияния, как было показано выше.
• На каждой операции копирования элемента из временного или большего подмассива в результирующий запоминается, из какого именно подмассива был элемент.
• Если уже некоторое количество элементов (в данной реализации алгоритма это число равно 7) было взято из одного и того же массива — предполагается, что и дальше нам придётся брать данные из него. Чтобы подтвердить эту идею, алгоритм переходит в режим «галопа», то есть перемещается по массиву-претенденту на поставку следующей большой порции данных бинарным поиском (массив упорядочен) текущего элемента из второго соединяемого массива.
• В момент, когда данные из текущего массива-поставщика больше не подходят (или был достигнут конец массива), данные копируются целиком.

Режим галопа на примере:

Исходные массивы:
A = {1, 2, 3,..., 9999, 10000}
B = { 20000, 20001, ...., 29999, 30000}

Первые 7 итераций сравниваются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 из массива A с числом 20000, так как 20000 больше — элементы массива A копируются в результирующий. Начиная со следующей итерации алгоритм переходит в режим «галопа»: сравнивает с числом 20000 последовательно элементы 8, 10, 14, 22, 38, n+2^i, …, 10000 массива A. (~log2 N сравнений). После того как конец массива A достигнут и известно, что он весь меньше B, нужные данные из массива A копируются в результирующий.

Литература

• Peter McIlroy "Optimistic Sorting and Information Theoretic Complexity", Proceedings of the Fourth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, ISBN 0-89871-313-7, Chapter 53, pp 467-474, January 1993. [1]
• Magnus Lie Hetland. Python Algorithms: Mastering Basic Algorithms in the Python Language. — Apress, 2010. — 336 с. — ISBN 978-1-4302-3237-7.

Ссылки

• Представление алгоритма от его создателя (англ.). Архивировано 4 сентября 2012 года.
• Timsort, реализованный на Python для PyPy (англ.) (py). Архивировано 4 сентября 2012 года.
• Визуализация алгоритма (англ.). Архивировано 4 сентября 2012 года.