Доведение до абсурда

Доведение до абсурда (лат. reductio ad absurdum), или апагогия («сведе́ние», др.-греч. Εις άτοπον απαγωγή) — логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в вытекающих из него следствиях обнаруживается противоречие.

Схемой доказательства приведением к нелепости называют схему, хорошо известную как схему введения отрицания [math]\displaystyle{ \left(\mathcal{\neg B}\right) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dfrac{ \begin{matrix} \left[\mathcal{A}\right] && \left[\mathcal{A}\right] \\ \mathcal{B} && \mathcal{\neg B} \end{matrix}}{\mathcal{\neg A}}. }[/math]

Она формализует метод доказательства приведением к нелепости.

Замечание. Данная схема похожа на другую — на схему доказательства от противного. В связи с этим их часто путают. Однако несмотря на некоторое сходство, они имеют разную форму. Причём различаются они не только по форме, но и по существу, и различие это носит принципиальный характер.

В математической логике

Метод приведения к абсурду используется в математической логике в виде умозаключения. Если требуется доказать истинность некоторого утверждения [math]\displaystyle{ A }[/math], то образуют отрицание этого утверждения [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] и находят такое утверждение [math]\displaystyle{ B }[/math], что оказывается возможным одновременно доказать выводимости [math]\displaystyle{ \overline{A} \vdash B }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline{A} \vdash \overline{B} }[/math], то есть прийти к абсурду. На основании этого делают логическое заключение, что утверждение [math]\displaystyle{ A }[/math] истинно.

Метод приведения к абсурду основан на тождественно истинном высказывании: [math]\displaystyle{ ((\overline{A} \Rightarrow B) \land (\overline{A} \Rightarrow \overline{B})) \Rightarrow A }[/math]. Следовательно, формула [math]\displaystyle{ A }[/math] выводима из формул [math]\displaystyle{ \overline{A} \Rightarrow B }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline{A} \Rightarrow \overline{B} }[/math].

Риторический приём

Необходимо различать логическое безэмоциональное упрощение высказывания и приём пропаганды, когда софист опровергает мнение, искусственно усиленное до абсурда. Также абсурдность обсуждаемого высказывания должна оцениваться в контексте цели беседы (решаемой проблемы).^{[уточнить]}

Примеры

• Земля не может быть плоской; в противном случае мы бы обнаружили, что люди падают с края. Пример утверждает, что отрицание предпосылки привело бы к нелепому выводу вопреки свидетельству наших чувств.
• Нет наименьшего положительного рационального числа, потому что если бы оно было, то его можно было бы разделить на два, чтобы получить меньшее. Это математическое доказательство от противоречия, в котором утверждается, что отрицание предпосылки приведет к логическому противоречию (существует «наименьшее» число, и все же есть число меньше его).
• В 2011 году власти Австрии разрешили пастафарианину Нико Альму сфотографироваться на водительское удостоверение с дуршлагом на голове как религиозным головным убором. Нико Альм подал соответствующее заявление три года назад, тем самым используя аргумент reductio ad absurdum (сведение к абсурду) против разрешения мусульманам фотографироваться на документы в хиджабах. Так как фотографии с головными уборами разрешены в Австрии только из религиозных побуждений, он обосновал свой поступок принадлежностью к пастафарианству. «Моя главная цель — заставить людей задуматься над адекватностью системы», — заявил он.

См. также

• Список крылатых латинских выражений
• Казуистика

Ссылки

• Апагогия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Литература

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.

• Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. — М.: КДУ, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-98227-307-9.