Якобиан

О якобиане алгебраической кривой см. Многообразие Якоби

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathop{\rm Jac}_xf }[/math], иногда также следующим образом:

[math]\displaystyle{ \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} }[/math] ,или [math]\displaystyle{ \frac{\partial(f_1,\dots,f_n)}{\partial(x_1,\dots,x_n)} }[/math]

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).

Определение

Якобиан векторной функции [math]\displaystyle{ \mathbf{u}:\R^n\to\R^n, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_n), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , n }[/math], имеющей в некоторой точке [math]\displaystyle{ x }[/math] все частные производные первого порядка, определяется как

[math]\displaystyle{ \det \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_n \over \partial x_1}(x) & {\partial u_n \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_n \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}. }[/math]

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций [math]\displaystyle{ u_1, \ldots, u_n }[/math].

Геометрическая интерпретация

Если функции [math]\displaystyle{ \tilde x_1(x_1,\dots,x_n), \ldots, \tilde x_n(x_1,\dots,x_n) }[/math] определяют преобразование координат [math]\displaystyle{ x_i \rightarrow \tilde x_j }[/math], то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов параллелепипедов, «натянутых» на [math]\displaystyle{ d\tilde x_1, d\tilde x_2, \dots, d\tilde x_n }[/math] и на [math]\displaystyle{ dx_1, dx_2, \dots, dx_n }[/math] при равенстве произведений [math]\displaystyle{ d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n = dx_1 dx_2 \dots dx_n }[/math].

Применение

• Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
• Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
• Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат [math]\displaystyle{ \tilde x_j \rightarrow x_i }[/math] преобразуется как

  [math]\displaystyle{ \int\limits_{\tilde \Omega} f(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n) d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n = }[/math]

  [math]\displaystyle{ = \int\limits_{\Omega} f(\tilde x_1(x_1,x_2,\dots,x_n),\tilde x_2(x_1,x_2,\dots,x_n),\dots,\tilde x_n(x_1,x_2,\dots,x_n)) \bigg|\frac{D(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}\bigg| dx_1 dx_2 \dots dx_n }[/math]

  (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры

Пример 1. Переход элементарной площади [math]\displaystyle{ \mathrm{d}S = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y }[/math] от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

[math]\displaystyle{ x = r\, \cos\varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ y = r\, \sin\varphi. }[/math]

Матрица Якоби имеет следующий вид

[math]\displaystyle{ \hat{I}(r, \varphi) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\varphi & -r\, \sin\varphi \\ \sin\varphi & r\, \cos\varphi \end{bmatrix}. }[/math]

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

[math]\displaystyle{ J(r,\varphi) = \det \hat{I}(r,\varphi) =\det \begin{bmatrix} \cos\varphi & -r\, \sin\varphi \\ \sin\varphi & r\, \cos\varphi \end{bmatrix} = r. }[/math]

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}S = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = J(r,\varphi) \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi = r \,\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi }[/math]

Пример 2. Переход элементарного объёма [math]\displaystyle{ \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }[/math] от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

[math]\displaystyle{ x = r\, \sin\theta\, \cos\varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ y = r\, \sin\theta\, \sin\varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ z = r\, \cos\theta. }[/math]

Матрица Якоби имеет следующий вид

[math]\displaystyle{ \hat{I}(r,\theta,\varphi) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\varphi & r\, \cos\theta\, \cos\varphi & -r\, \sin\theta\, \sin\varphi \\ \sin\theta\, \sin\varphi & r\, \cos\theta\, \sin\varphi & r\, \sin\theta\, \cos\varphi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix}. }[/math]

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

[math]\displaystyle{ J(r,\theta,\varphi) = \det \hat{I}(r,\theta,\varphi) =\det \begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\varphi & r\, \cos\theta\, \cos\varphi & -r\, \sin\theta\, \sin\varphi \\ \sin\theta\, \sin\varphi & r\, \cos\theta\, \sin\varphi & r\, \sin\theta\, \cos\varphi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix} = r^2 \sin\theta. }[/math]

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = J(r,\theta,\varphi) \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = r^2 \sin \theta \, \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi }[/math]

Свойства

• Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке [math]\displaystyle{ x }[/math] равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки [math]\displaystyle{ x }[/math] к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], то отображение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] является локальным диффеоморфизмом.

См. также

Применение в физике

• Соотношения Бриджмена (термодинамика) и Соотношения Максвелла (термодинамика) выводятся с применением техники якобианов