Энтропия Вселенной

Величина	Формула расчета	Значение
Полная энтропия видимой части [math]\displaystyle{ S }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{4\pi}{3}s_{\gamma}L^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sim 10^{90}k }[/math]
Удельная энтропия фотонного газа [math]\displaystyle{ s_{\gamma} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{8\pi^2}{90}T_0^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \approx 1{,}49\cdot 10^3 \cdot k }[/math] см⁻³

Энтропи́я Вселе́нной — величина, характеризующая степень неупорядоченности и тепловое состояние Вселенной.

Классическое определение энтропии и способ её вычисления не подходят для Вселенной, так как в ней действуют силы гравитации, и вещество само по себе не образует замкнутой системы. Однако можно доказать, что в сопутствующем объёме полная энтропия сохраняется^[⇨].

В сравнительно медленно расширяющейся Вселенной энтропия в сопутствующем объёме сохраняется, а по порядку величины энтропия равна числу фотонов^[1].

Текущее значение энтропии

Хотя ко Вселенной как целому нельзя применить понятие энтропии, это может быть сделано для ряда подсистем вселенной, допускающих термодинамическое и статистическое описание (например, к взаимодействующим подсистемам всех компактных объектов, теплового реликтового электромагнитного излучения, реликтовых нейтрино и гравитонов). Энтропия компактных объектов (звёзд, планет и т. д.) ничтожно мала по сравнению с энтропией реликтовых безмассовых (и почти безмассовых) частиц — фотонов, нейтрино, гравитонов. Плотность энтропии реликтовых фотонов, образующих равновесное тепловое излучение с современной температурой T = 2,726 К, равна

[math]\displaystyle{ s_\gamma= \frac{16 \sigma}{3 c} T^3 =1{,}49\cdot 10^3 k }[/math] см⁻³ ≈ 2,06 · 10⁻¹³ эрг · К⁻¹ · см⁻³,

где σ — постоянная Стефана — Больцмана,

c — скорость света,

k — постоянная Больцмана.

Плотность числа фотонов теплового излучения пропорциональна плотности его энтропии:

[math]\displaystyle{ n_\gamma = s_\gamma/(3{,}602\, k). }[/math]

Каждый из сортов безмассовых (или лёгких, с массой много меньше 1 МэВ) нейтрино вносит в космологическую плотность энтропии вклад [math]\displaystyle{ s_\nu = \frac{7}{22}s_\gamma, }[/math] поскольку в стандартной космологической модели они отцепляются от вещества раньше фотонов, и их температура ниже: [math]\displaystyle{ T_\nu = \left(\frac{4}{11}\right)^{1/3}T_\gamma. }[/math] Можно показать также, что тепловые реликтовые гравитоны, отцепляющиеся от вещества намного раньше нейтрино, вносят в энтропию вклад, не превосходящий [math]\displaystyle{ s_\gamma. }[/math]

Таким образом (если считать, что за рамками Стандартной Модели нет большого числа разновидностей неизвестных нам лёгких стабильных частиц, которые могут рождаться в ранней Вселенной и практически не взаимодействуют с веществом при низких энергиях), следует ожидать, что плотность энтропии Вселенной не более чем в несколько раз превосходит [math]\displaystyle{ s_\gamma. }[/math] Поскольку крупномасштабное гравитационное поле весьма упорядоченно (Вселенная на больших масштабах однородна и изотропна), естественно считать, что с этим компонентом не связана никакая существенная разупорядоченность, которая могла бы внести значительный вклад в общую энтропию. Отсюда полную энтропию наблюдаемой Вселенной можно оценить как произведение её объёма V на [math]\displaystyle{ s_\gamma : }[/math]

[math]\displaystyle{ S \approx V s_\gamma \approx \frac{4\pi}{3}L^3 s_\gamma \sim 10^{90} k, }[/math]

где L ≈ 46 млрд световых лет ≈ 4,4·10²⁸ см — расстояние до современного космологического горизонта (радиус наблюдаемой Вселенной) в общепринятой космологической модели ΛCDM. Для сравнения, энтропия чёрной дыры с массой, равной массе наблюдаемой Вселенной, составляет ~10¹²⁴ k — на 34 порядка больше; это показывает, что Вселенная является существенно упорядоченным, низкоэнтропийным объектом, и предположительно является причиной существования термодинамической стрелы времени^[2].

Удельную энтропию Вселенной часто нормируют на плотность барионов n_b. Безразмерная удельная энтропия реликтового излучения [math]\displaystyle{ S_\gamma = \frac{s_\gamma}{n_b k} \sim 10^9. }[/math]

Закон сохранения энтропии во Вселенной

В современной Вселенной, начиная по крайней мере с момента 1 с после начала расширения, энтропия в сопутствующем объёме нарастает очень медленно (процесс расширения практически адиабатичен)^[2]. Это положение можно выразить как (приближённый) закон сохранения энтропии во Вселенной. Важно осознавать, что он не имеет настолько фундаментального статуса, как законы сохранения энергии, импульса, заряда и т.п., и является лишь хорошим приближением для некоторых (но не всех) этапов развития Вселенной (в частности, для современной Вселенной).

В общем случае, приращение внутренней энергии имеет вид:

[math]\displaystyle{ dE = TdS - pdV + \sum\limits_{i}\mu_idN_i. }[/math]

Учтем, что химические потенциалы μ_i частиц и античастиц равны по значению и противоположны по знаку:^{[уточнить]}

[math]\displaystyle{ dE = TdS - pdV + \sum\limits_{i}\mu_i(dN_i - d\overline{N}_i ). }[/math]

Если считать расширение равновесным процессом, то последние выражение можно применить к сопутствующему объёму ([math]\displaystyle{ V \propto a^3 }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — «радиус» Вселенной). Однако в сопутствующем объёме разница частиц и античастиц сохраняется. Учитывая этот факт, имеем:

[math]\displaystyle{ TdS = (p+\rho)dV + Vd\rho. }[/math]

Но причиной изменения объёма является расширение. Если теперь, учитывая это обстоятельство, продифференцировать по времени последнее выражение, получаем:

[math]\displaystyle{ T\frac{dS}{dt} = a^3 \left[ 3\frac{\dot{a}}{a} (p+\rho) + \dot{\rho} \right]. }[/math]

Теперь, если заменить [math]\displaystyle{ \frac{\dot{a}}{a} }[/math] на постоянную Хаббла и подставить уравнение неразрывности, входящее в систему уравнений Фридмана, в правой части получаем нуль:

[math]\displaystyle{ T\frac{dS}{dt} = 0. }[/math]

Последнее означает, что энтропия в сопутствующем объёме сохраняется (поскольку температура не равна нулю).

Примечания

↑ Валерий Рубаков, Борис Штерн. Сахаров и космология // «Троицкий вариант» № 10(79), 24 мая 2011 г.
↑ ^2,0 ^2,1 Розгачёва И. К., Старобинский А. А. Энтропия Вселенной // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 618—620. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.

Литература

Розгачёва И. К., Старобинский А. А. Энтропия Вселенной // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 618—620. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
Физика невозможного — М.: Альпина нон-фикшн, 2009. — 456 с. — ISBN 978-5-91671-024-3 = Пер. с англ. — Michio Kaku. Physics of the Impossible. New York: Doubleday, 2008, 329 p., ISBN 978-0-385-52069-0 P.38.
Линде А. Д. Раздувающаяся Вселенная (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 1984. — Т. 144, вып. 2.

Ссылки

Тунцов А. В. Энтропия большого канонического ансамбля в расширяющейся Вселенной. (неопр.). Астронет. Дата обращения: 27 сентября 2013.
Зельдович Я. Б. Возможно ли образование Вселенной «из ничего»? Астрофизические выводы. Нужна ли пульсирующая Вселенная? (неопр.). Астронет. Дата обращения: 27 сентября 2013.
Сахаров А. Д. Возможно ли образование Вселенной «из ничего»? Послесловие (неопр.). Астронет. Дата обращения: 27 сентября 2013.

[1] Валерий Рубаков, Борис Штерн. Сахаров и космология // «Троицкий вариант» № 10(79), 24 мая 2011 г.

[FE-2] 2,0 ^2,1 Розгачёва И. К., Старобинский А. А. Энтропия Вселенной // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 618—620. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.

[1]

[2]