Эксетерская точка

Эксетерская точка — замечательная точка треугольника, обнаруженная на семинаре по вычислительной математике в Академии Филлипса в Эксетере в 1986 году, вошедшая в Энциклопедию центров треугольника как [math]\displaystyle{ X(22) }[/math].

Определяется для треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] следующим образом: на описанной окружности отмечаются точки пересечения с медианами треугольника ([math]\displaystyle{ A' }[/math], [math]\displaystyle{ B' }[/math] и [math]\displaystyle{ C' }[/math] для медиан, проведённых через соответствующие вершины), строится треугольник, образованный касательными к описанной окружности в вершинах заданного треугольника ([math]\displaystyle{ \triangle DEF }[/math], где [math]\displaystyle{ D }[/math] — вершина, противоположная стороне, образованной касательной в вершине [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ E }[/math] — противоположная стороне, образованной касательной в [math]\displaystyle{ B }[/math]), в результате прямые, проходящие через [math]\displaystyle{ DA' }[/math], [math]\displaystyle{ EB' }[/math] и [math]\displaystyle{ FC' }[/math] оказываюся пересекающимися, и образуют эксетерскую точку. Иными словами, эксетерская точка — точка пересечения 3 прямых, проходящих через 3 пары точек: через вершину тангенциального треугольника и через соответствующую ей точку пересечения медианы с описанной окружностью исходного треугольника.

Находится на прямой Эйлера.

Трилинейные координаты: [math]\displaystyle{ (a \cdot (b^4 + c^4 - a^4), \, b \cdot (c^4 + a^4 - b^4), \, c \cdot (a^4 + b^4 - c^4)) }[/math].