Эллипс. — Предположим, что на плоскости даны две точки [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ F_1 }[/math]. Геометрическое место точки [math]\displaystyle{ M }[/math], для которой сумма расстояний [math]\displaystyle{ MF }[/math] и [math]\displaystyle{ MF_1 }[/math] — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ F_1 }[/math] суть фокусы. Если в точке [math]\displaystyle{ F }[/math] или [math]\displaystyle{ F_1 }[/math] поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. соберутся в [math]\displaystyle{ F_1 }[/math] или [math]\displaystyle{ F }[/math]. Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок [math]\displaystyle{ FF_1 }[/math] пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения: [math]\displaystyle{ ~MF + MF_1 = 2a }[/math], [math]\displaystyle{ ~FF_1 = 2c }[/math], [math]\displaystyle{ b = \sqrt{a2 - c2} }[/math]. Если начало координат возьмем в точке O, ось x-ов направим по линии [math]\displaystyle{ FF_1 }[/math], ось у-ов по перпендикуляру к [math]\displaystyle{ FF_1 }[/math], то уравнение Э. будет
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 }[/math].
Вид этой кривой изображен дстаточно описан. Отложим по оси х-ов расстояние [math]\displaystyle{ OD }[/math], равное [math]\displaystyle{ \frac{a2}{c} }[/math], в ту сторону, где находится точка [math]\displaystyle{ F }[/math], и проведем прямую [math]\displaystyle{ DE }[/math] перпендикулярно к оси x-ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние [math]\displaystyle{ M }[/math] до этой прямой обозначим через [math]\displaystyle{ MP }[/math]. Для всякой точки [math]\displaystyle{ M }[/math] Э. отношение [math]\displaystyle{ \frac{MF}{MP} }[/math] есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой [math]\displaystyle{ ~e }[/math]. В нашем случае [math]\displaystyle{ e = \frac{c}{a} }[/math]. Это показывает, что для Э. [math]\displaystyle{ ~e \lt 1 }[/math]. По другую сторону центра лежит фокус [math]\displaystyle{ F_1 }[/math] и соответствующая ему директрисса [math]\displaystyle{ D_1E_1 }[/math]. Точки пересечения Э. с осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ a_1 }[/math], а с осью у-ов через [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1 }[/math]. В таком случае [math]\displaystyle{ AA_1 = 2a }[/math], [math]\displaystyle{ BB_1 = 2b }[/math].
[math]\displaystyle{ AA_1 }[/math] назыв. большой осью Э., а [math]\displaystyle{ BB_1 }[/math] — малой осью. Точки [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ A_1 }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] находятся на положительных частях осей координат, а [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] — на отрицательных. Если начало координат перенесем в [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. будет
[math]\displaystyle{ ~y^2 = 2px + qx^2 }[/math],
где [math]\displaystyle{ p = \frac{b^2}{a^2} }[/math], [math]\displaystyle{ q = - \frac{b^2}{a^2} }[/math]. Число [math]\displaystyle{ 2p }[/math] называется параметром.
Уравнение
[math]\displaystyle{ r = \frac{p}{1 + e\cos\phi} }[/math]
выражает Э. относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получется Э. См. Конические сечения (см.).