Определитель (Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными:
- [math]\displaystyle{ a_1x + b_1y = c_1 }[/math],
- [math]\displaystyle{ a_2x + b_2y = c_2 }[/math],
получаем следующие выражения для x и у:
- [math]\displaystyle{ x = \frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1} }[/math],
- [math]\displaystyle{ y = \frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1} }[/math].
Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражение последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет:
- [math]\displaystyle{ a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1 }[/math].
Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так:
- [math]\displaystyle{ a_1b_2-a_2b_1=\begin{vmatrix}a_1, a_2 \\ b_1, b_2\end{vmatrix} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+...-a_3b_2c_1=\begin{vmatrix}a_1, a_2, a_3 \\ b_1, b_2, b_3 \\ c_1, c_2, c_3\end{vmatrix} }[/math]
Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель:
- [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}\displaystyle\frac{d\phi_1}{dx_1}, \frac{d\phi_1}{dx_2}, \frac{d\phi_1}{dx_3} \\ \displaystyle\frac{d\phi_2}{dx_1}, \frac{d\phi_2}{dx_2}, \frac{d\phi_2}{dx_3} \\ \displaystyle\frac{d\phi_3}{dx_1}, \frac{d\phi_3}{dx_2}, \frac{d\phi_3}{dx_3}\end{vmatrix} }[/math]
трех функций φ1, φ2, φ3 от трех переменных х1, x2, x3. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. См. Ващенко-Захарченко, «Теория определителей»; Baltzer, «Théorie et application des déterminants».