Логарифм. — Л. данного числа n называется показатель степени, в которую нужно возвести некоторое другое данное число а, называемое основанием, чтобы получить n; так что зависимость между данным числом n, основанием а и Л. х числа n выражается формулою n = aх. Л. числа обозначается символом log, или lg, или L. Л. числа n, взятый при основании а, обозначается иногда так: [math]\displaystyle{ \lg_a n, }[/math] причем всегда должно удовлетворяться равенство [math]\displaystyle{ n=a\lg_a n. }[/math] Например, из равенства 1000=103 следует [math]\displaystyle{ 3=\lg_{10} 1000. }[/math] Из равенства [math]\displaystyle{ n=a\lg_a n }[/math] вытекают свойства логарифмов, обусловливающие полезность этой функции, а именно: 1) Л. произведения равен сумме Л. производителей; 2) Л. частного равен разности Л. делимого и делителя; 3) Л. степени равен произведению показателя степени на число, возводимое в степень; 4) Л. корня равен Л. подкоренной величины, разделенному на показатель корня. Эти свойства выражаются формулами:
- [math]\displaystyle{ \lg(uv) = \lg u + \lg v;\ \lg\left(\frac{u}{v}\right) = \lg u - \lg v;\ \lg(u^m) = m\lg u;\ \lg\sqrt[m]{u} = \frac{\lg u}{m}. }[/math]
Обладая такими свойствами, Л. дают возможность свести: умножение на сложение, деление на вычитание, возведение в степень на умножение и извлечение корня на деление, что и выясняет огромное практическое значение Л. для всех, кто имеет дело со сложными арифметическими вычислениями. При нашей десятичной системе исчисления самым удобным основанием оказывается число 10; имеется и множество таблиц, в которых даются Л. последовательных чисел начиная от 1 до 100000. При основании, равном 10, только Л. целых степеней десяти суть целые числа, Л. же простых чисел представляются десятичными дробями, например [math]\displaystyle{ \lg 30=1,4771213. }[/math] Целая часть такой дроби наз. характеристикою, а дробная — мантиссою. Характеристика определяется прямо по числу цифр целой части числа, именно, она равна числу таких цифр без единицы. Например, для числа 354,25, имеющего три цифры в целой части, характеристика будет 2. Благодаря такому легкому способу определения характеристики в таблицах дается лишь одна мантисса. Для большего упрощения вычислений самое вычитание Л. заменяется обыкновенно сложением, для чего вводят вместо вычитаемого Л. дополнение этого Л. Дополнением называется разность между Л. и числом 10. Если характеристика данного Л. более 10, то характеристика дополнения будет отрицательная, что и обозначается знаком —, который ставится над нею; например, дополнение от 12,3542351 будет [math]\displaystyle{ \overline{3},6457649 }[/math]. Вычесть из одного Л. другой Л. все равно, что придать к первому Л. дополнение второго и из результата вычесть 10. Для уяснения пользы, приносимой Л. при вычислениях, возьмем два примера. 1) Определим конечный результат арифметических действий, выражаемых формулой [math]\displaystyle{ x=\frac{53126\cdot 32135}{25677\cdot 62353}. }[/math] Производя эти действия обыкновенными приемами, мы должны были бы исписать довольно много бумаги; с помощью Л. задача решается тем, что подыскиваются в таблице Л. чисел, стоящих в числителе, и Л. чисел, стоящих в знаменателе, из последних в уме определяются их дополнения, и все это складывается следующим образом:
| [math]\displaystyle{ \lg 53126 = 4,7253071 }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ \lg 32135 = 4,5069783 }[/math] | |
| дополнение | [math]\displaystyle{ \lg 25677 = 5,5904557 - 10 }[/math] |
| дополнение | [math]\displaystyle{ \lg 62353 = 5,2051426 - 10 }[/math] |
|
| |
| [math]\displaystyle{ \begin{align}20,0278837 & - 20 \\ = 0,0278837 & \ \end{align} }[/math] |
Ближайший к нему Л. в таблицах имеет мантиссу 0278794, и ему соотвтствует в таблице число 10663; соответствующее число должно иметь одну цифру в целой части; если возьмет 1,0668, то это число выразит собою искомое число с точностью 0,0001. 2) Найдем [math]\displaystyle{ \sqrt[5]{3}. }[/math] Обыкновенная алгебра даже не дает никаких других приемов для вычисления такого радикала кроме логарифмирования, посредством которого задача решается тем, что отыскивается в таблице [math]\displaystyle{ \lg 3=0,4771213; }[/math] делением этого Л. на 5 получается 0,0954242, ближайший к этому логарифм в таблицах находим: 0,0954135, которому соответствует в таблице число 1,2457; это и будет [math]\displaystyle{ \sqrt[5]{3} }[/math] с точностью 0,0001. Логарифмы были изобретены шотландским геометром Непером (Napier), который в 1614 году напечатал «Mirifici logarithmorum canonis descriptio», посвященное им принцу Валлийскому (впоследствии король Карл I). Это сочинение in 4° представляет 56 страниц текста и 90 страниц таблиц; оканчивается оно словами: «собирая плоды этого небольшого произведения, воздайте должную славу и благодарность Богу высшему создателю и расточителю всех благ». Непер принял за основание своих таблиц особое несоизмеримое число, имеющее чрезвычайно важное значение в анализе и обозначаемое обыкновенно через е. Такой выбор основания поясняется следующими соображениями. Пусть α есть весьма малая величина, а — основание какой-либо системы; тогда члены арифметической прогрессии: 0, α, 2α, 3α… представят собою Л. членов геометрической прогрессии: 1, аα, а2α, а3α…, в которой знаменатель отношения аα, благодаря малости а, весьма мало отличается от 1. Назовем через β ту малую величину, на которую аα отличается от 1, так что aα=1+β; положим [math]\displaystyle{ \tfrac{\alpha}{\beta}=M. }[/math] Тогда арифметическая прогрессия примет вид: 0, Mβ, 2Mβ, 3Mβ…, геометрическая же обратится в (1+β)0, (1+β)1, (1+β)2… Количество β совершенно произвольно: известно только, что оно очень мало; множитель же M зависит от того, какое мы избрали основание. Самое простое положить M=1. Основание, при котором М=1, и выбрано было Непером для его таблиц. Определим его величину: при М=1 упомянутая арифметическая прогрессия обращается в: 0, β, 2β, 3β…, геометрическая есть (1+β)0, (1+β)1, (1+β)2…; основание есть то число, которого Л. равен единице; положим, что (m+1)ый член арифметической прогрессии равен 1, то есть что mβ=1, тогда соответствующий член (1+β)m геометрической прогрессии и будет основанием, при котором М=1. Подставим в этот член вместо β его величину из mβ=1, получим [math]\displaystyle{ \left(1+\tfrac{1}{m}\right)^m. }[/math] Эта величина и будет основанием неперовых Л., так что, разлагая до бинома Ньютона, получим
- [math]\displaystyle{ e = \left(1+\frac{1}{m}\right)^m = 1 + m\frac{1}{m} + \frac{m(m-1)}{1\cdot 2}\frac{1}{m^2}+\dots }[/math] или [math]\displaystyle{ e = \left(1+\frac{1}{m}\right)^m = 1 + 1 + \frac{1-\frac{1}{m}}{1\cdot 2} + \frac{\left(1-\frac{m}{1}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)}{1\cdot 2\cdot 3} + \dots ; }[/math]
так как β весьма мало, то m весьма велико, и дроби, содержащие m в знаменателе, по малой их величине можно отбросить; таким образом получим:
- [math]\displaystyle{ e = 1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\dots=2,71828\dots }[/math]
Неперовы Л. называются иногда гиперболическими или натуральными; натуральными потому, что проще всего было предположить М=1; гиперболическими потому, что если в равносторонней гиперболе, отнесенной к асимптотам, принять абсциссу вершины за единицу, то площадь, заключенная между гиперболою, осью абсцисс, ординатою вершины и ординатою, соответствующею абсциссе x, равна [math]\displaystyle{ \lg x }[/math] в неперовой системе. Величина е имеет особенно важное значение в анализе благодаря существованию ряда:
- [math]\displaystyle{ e^x = 1+x+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\dots }[/math]
благодаря способности разлагаться в такой ряд показательная функция eх служит переходом от алгебраических функций к тригонометрическим, потому что из сравнения этого ряда с разложениями cosx и sinx следуют формулы:
- [math]\displaystyle{ \cos x = \frac{e^{x\sqrt{-1}}+e^{-x\sqrt{-1}}}{2};\ \sin x = \frac{e^{x\sqrt{-1}}-e^{-x\sqrt{-1}}}{2\sqrt{-1}}. }[/math]
Зная Л. числа m при данном основании а, можно определить Л. х числа m и при всяком другом основании b, потому что из равенства m=е следует [math]\displaystyle{ \lg m=x\lg_a b, }[/math] откуда: [math]\displaystyle{ x=\lg_b m = \tfrac{\lg_a m}{\lg_a b}; }[/math] из этой формулы видно, что, имея Л. числа m при основании а, следует только помножить его на [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{\lg_a b}, }[/math] чтобы получить Л. числа m при основании b. Множитель, служащий для перехода от одной системы к другой, называется модулем. Модуль, на который следует множить неперовы Л. для получения Л. при основании 10, равен 0,4349448. Л. удовлетворяют, между прочим, следующим замечательным рядам: [math]\displaystyle{ \lg(1+x)=(x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}+\dots)M, }[/math] где M есть модуль для перехода от неперовых Л.; [math]\displaystyle{ \lg(n+1)-\lg n = 2M\left(\tfrac{1}{2n+1} + \tfrac{1}{3(2n+1)^3} + \tfrac{1}{5(2n+1)^5} + \dots\right). }[/math] Посредством последнего, весьма быстро сходящегося ряда обыкновенно и вычисляются Л. следующим образом: зная, что [math]\displaystyle{ \lg 100=2, }[/math] подставим в наш ряд 100 вместо n; получим [math]\displaystyle{ \lg 101 - 2 = M\left(\tfrac{1}{201} + \tfrac{1}{3\cdot 201^3} + \tfrac{1}{5\cdot 201^5} + \dots \right); }[/math] последующие члены ряда, стоящего в скобках, уже настолько малы, что ими можно пренебречь и простым вычислением получить [math]\displaystyle{ \lg 101=2,0043214; }[/math] зная [math]\displaystyle{ \lg 101, }[/math] получим [math]\displaystyle{ \lg 102 }[/math] и так далее. Понятие о Л. обобщается распространением логарифмирования и на мнимые функции; при этом получаются формулы: [math]\displaystyle{ \lg(a+bi) = \lg[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)] = \lg r + (2n\pi+\varphi)i, }[/math] где [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1}, }[/math] [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2}, }[/math] [math]\displaystyle{ \cos\varphi=\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, }[/math] [math]\displaystyle{ \sin\varphi=\tfrac{b}{\sqrt{a^+b^2}}. }[/math]
Кроме Л. чисел, в таблицах обыкновенно помещаются Л. тригонометрических величин (см. Тригонометрические таблицы). Первые таблицы, в которых за основание было принято число 10, были напечатаны другом Непера Бриггом в 1624 г. под заглавием «Arithmetica logarithmica». В таблице Бригга были даны Л. чисел, начиная с 1 до 20000 и от 90000 до 100000, с 14 знаками в мантиссе. Голландский математик Влакк (Adrien Vlacq) пополнил пробел бригговских таблиц и напечатал в 1628 г. таблицы, содержащие Л. всех чисел от 1 до 100000, с десятью знаками в мантиссе. Из последующих изданий наиболее известны таблицы Гардинера, Баббаджа и Тейлора. В настоящее время употребляются чаще всего при вычислениях таблицы Каллета (до 106000), карманные таблицы Лаланда с пятью знаками и таблицы Бремикера семизначные, представляющие обработку таблиц Веги «Thesaurus logarithmorum completus» (1794). Существуют и весьма распространены у нас русские табл. Бремикера, напечатанные стереотипно.
Гауссовы Л. Для определения Л. суммы и разности двух чисел по Л. этих чисел Гаусс изобрел особые таблицы. Лучшие издания Гауссовых Л. представляют издания Витштейна, Матиссена и Цеха.