Числа эпсилон

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции [math]\displaystyle{ f(\alpha)=\omega^\alpha, }[/math] то есть удовлетворяющие равенству [math]\displaystyle{ \varepsilon=\omega^\varepsilon, }[/math] где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

[math]\displaystyle{ \varepsilon_0=\sup\{0,1,\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}},...\}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \varepsilon_{\alpha+1}=\sup\{\varepsilon_{\alpha}+1,\omega^{\varepsilon_{\alpha}+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_{\alpha}+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\alpha}+1}}},...\}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \varepsilon_\alpha=\sup\{\varepsilon_\beta|\beta\lt \alpha\} }[/math] для предельного ординала [math]\displaystyle{ \alpha. }[/math]

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции [math]\displaystyle{ f(\alpha)=\varepsilon_\alpha, }[/math] называется ординалом Кантора и обозначается как [math]\displaystyle{ \zeta_0. }[/math]

[math]\displaystyle{ \zeta_0=\sup\{0,\varepsilon_{0},\varepsilon_{\varepsilon_{0}},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{0}}},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{0}}}},...\}. }[/math]

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций [math]\displaystyle{ \varphi_\alpha }[/math]. В соответствии с нотацией Веблена [math]\displaystyle{ \varepsilon_\alpha=\varphi_1(\alpha) }[/math].

Ссылки

J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (Second revised ed.), PWN — Polish Scientific Publishers