Частичная геометрия

Пусть имеется структура инцидентности [math]\displaystyle{ C=(P,L,I) }[/math], состоящая из точек [math]\displaystyle{ P }[/math], прямых [math]\displaystyle{ L }[/math] и флагов [math]\displaystyle{ I \subseteq P \times L }[/math]. Говорят, что точка [math]\displaystyle{ p }[/math] инцидентна прямой [math]\displaystyle{ l }[/math], если [math]\displaystyle{ (p,l) \in I }[/math]. Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа [math]\displaystyle{ s,t,\alpha\geq 1 }[/math], такие, что:

• Для любой пары различных точек [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
• Каждая прямая инцидентна [math]\displaystyle{ s+1 }[/math] точкам.
• Каждая точка инцидентна [math]\displaystyle{ t+1 }[/math] прямым.
• Если точка [math]\displaystyle{ p }[/math] и прямая [math]\displaystyle{ l }[/math] не инцидентны, существует в точности [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] пар [math]\displaystyle{ (q,m)\in I }[/math], таких, что [math]\displaystyle{ p }[/math] инцидентна [math]\displaystyle{ m }[/math], а [math]\displaystyle{ q }[/math] инцидентна [math]\displaystyle{ l }[/math].

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается [math]\displaystyle{ pg(s,t,\alpha) }[/math].

Свойства

• Число точек задаётся формулой [math]\displaystyle{ \frac{(s+1)(s t+\alpha)}{\alpha} }[/math], а число прямых — формулой [math]\displaystyle{ \frac{(t+1)(s t+\alpha)}{\alpha} }[/math].
• Точечный граф структуры [math]\displaystyle{ pg(s,t,\alpha) }[/math] является сильно регулярным графом: [math]\displaystyle{ srg((s+1)\frac{(s t+\alpha)}{\alpha},s(t+1),s-1+t(\alpha-1),\alpha(t+1)) }[/math].
• Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для [math]\displaystyle{ pg(s,t,\alpha) }[/math] является просто структура [math]\displaystyle{ pg(t,s,\alpha) }[/math].

Частные случаи

• Обобщённые четырёхугольники — это в точности частичные геометрии [math]\displaystyle{ pg(s,t,\alpha) }[/math] с [math]\displaystyle{ \alpha=1 }[/math].
• Системы Штейнера — это в точности частичные геометрии [math]\displaystyle{ pg(s,t,\alpha) }[/math] с [math]\displaystyle{ \alpha=s+1 }[/math].

Обобщения

Частично линейное пространство [math]\displaystyle{ S=(P,L,I) }[/math] порядка [math]\displaystyle{ s, t }[/math] называется получастичной геометрией, если существуют целые числа [math]\displaystyle{ \alpha\geq 1, \mu }[/math], такие, что:

• Если точка [math]\displaystyle{ p }[/math] и прямая [math]\displaystyle{ \ell }[/math] не инцидентны, существует либо [math]\displaystyle{ 0 }[/math], либо в точности [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] пар [math]\displaystyle{ (q,m)\in I }[/math], таких, что [math]\displaystyle{ p }[/math] инцидентна [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] инцидентна [math]\displaystyle{ \ell }[/math].
• Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности [math]\displaystyle{ \mu }[/math] общих соседей.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \mu = \alpha(t+1) }[/math].

Легко показать, что граф коллинеарности такой геометрии строго регулярен с параметрами [math]\displaystyle{ (1 + s(t + 1) + s(t+1)t(s - \alpha + 1)/\mu, s(t+1), s - 1 + t(\alpha - 1), \mu) }[/math].

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки [math]\displaystyle{ PG(3, q^2) }[/math] и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры [math]\displaystyle{ (s, t, \alpha, \mu) = (q^2 - 1, q^2 + q, q, q(q + 1)) }[/math].