Цепь Чуа

Рисунок 1 — Эквивалентная схема для цепи Чуа состоящая из линейных пассивных элементов: катушки индуктивности (L), проводимости (G) и двух конденсаторов (C1, C2), а g — нелинейный элемент называемый диодом Чуа. В классическом варианте предлагаются следующие значения элементов: L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф.

Цепь Чуа или схема Чуа — простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета Леоном Чуа в 1983 году. Цепь состоит из двух конденсаторов, одной катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора с отрицательным сопротивлением (обычно называемого диодом Чуа).

Математическая модель

Систему уравнений для цепи изображённой на рисунке 1 можно получить используя первое правило Кирхгофа и формулу для напряжения на катушке индуктивности:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{align} C_1 \frac{d v_{C_1}}{dt} &= G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1}), \\ C_2 \frac{d v_{C_2}}{dt} &= G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L, \\ L \frac{di_L}{dt} &= -v_{C_2}, \end{align}\right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ v_{C_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ v_{C_2} }[/math] — напряжения на ёмкостях, [math]\displaystyle{ i_L }[/math] — ток через катушку идуктивности, [math]\displaystyle{ g(v_{C_1}) }[/math] — кусочно-линейная функция характеризующая диод Чуа, определенная как

[math]\displaystyle{ g(v_{C_1}) = G_b v_{C_1} + \frac{1}{2} (G_a - G_b) \big(|v_{C_1} + E| - |v_{C_1} - E|\big). }[/math]

Рисунок 2. Вольт-амперная характеристика диода Чуа. Также показана нагрузочная прямая, от пересечения с которой образуются три точки равновесия d, 0 и −d

Эта нелинейная функция представлена графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть G_a и G_b соответственно; при этом точки ±Е соответствуют изломам на графике.

Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:

[math]\displaystyle{ m_0 = \frac{G_a}{G},\quad m_1 = \frac{G_b}{G},\quad \alpha = \frac{C_2}{C_1},\quad \beta = \frac{C_2}{L G^2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \tau = \frac{t G}{C_2},\quad x = \frac{v_{C_1}}{E},\quad y = \frac{v_{C_2}}{E},\quad z = \frac{i_L}{E G}. }[/math]

Основная система уравнений запишется в виде

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{align} \frac{dx}{d\tau} &= \alpha \big(y - x - h(x)\big), \\ \frac{dy}{d\tau} &= x - y + z, \\ \frac{dz}{d\tau} &= -\beta y, \end{align}\right. }[/math]

где

[math]\displaystyle{ h(x) = m_1 x + \frac{1}{2} (m_0 - m_1) \big(|x + 1| - |x - 1|\big). }[/math]

Режимы работы

Цепь Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.

Рисунок 3. Бифуркационная диаграмма режимов при m₀ = −8/7, m₁ = −5/7

В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме цифрой 1, в системе существуют два устойчивых положения равновесия d и −d и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае цепь Чуа в зависимости от начальных условий будет стремиться к одному из двух устойчивых положений равновесия. В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной цифрой 2, в окрестности точки равновесия d или −d существует устойчивый предельный цикл. По мере приближения к границе с хаотическим режимом система претерпевает цикл удвоений периода вплоть до образования хаотического аттрактора Рёсслера. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно соотношению Фейгенбаума. При попадании параметров в область, помеченную цифрой 6, образуется странный аттрактор (рисунок 4), называемый «двойной завиток» (англ. double scroll). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «двойной завиток» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Рёсслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия. Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 цифрой 11, в колебательной системе наблюдаются колебания неограниченно нарастающей амплитуды вне зависимости от начальных условий. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон, и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.

На рисунках 5, 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.

• 
  Рисунок 4. Аттрактор типа двойной завиток. Фигура Лиссажу i_L от v_С1 при L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1Ф; G_a = −0,8 А/В; G_b = −0,5 А/В
• 
  Рисунок 5. Временная зависимость v_C1 для случая L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9Ф; C2 = 1Ф; G_a = −0,8 А/В; G_b = −0,5 А/В
• 
  Рисунок 6. Временная зависимость v_C2 для случая L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф; G_a = −0,8 А/В; G_b = −0,5 А/В

Осциллятор Чуа

Термин «Осциллятор Чуа» используется для рассмотрения цепи Чуа с учётом активного сопротивления катушки индуктивности L. Данная схема имеет ещё большее число разнообразных режимов и может быть реализована практически (рисунок 7).

Рисунок 7. Практическая схема осциллятора Чуа. L1 = 8,5 мГн, C1 = 4,8 нФ, C2 = 69 нФ, R = 1,3 кОм

Принимая R₀ — активное сопротивление катушки индуктивности L, получим систему уравнений

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{align} C_1 \frac{dv_{c_1}}{dt} &= G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1}), \\ C_2 \frac{dv_{c_2}}{dt} &= G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L, \\ L \frac{di_L}{dt} &= -v_{C_2} + R_0 i_L. \end{align}\right. }[/math]

Лёгкость практической реализации, а также наличие относительно простой математической модели делает цепь Чуа удобной моделью для изучения хаоса.

См. также

Мемристор

Литература

• Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса // Соросовский образовательный журнал, 2000, № 11, с. 104—110;
• Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
• Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit, IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol. CAS-31, no. 12, pp. 1055–1058.
• Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family", IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, no. 11, pp. 1073–1118.
• T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. «Birth and death of the double scroll», Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan/Feb 1987).
• Stankevich N. V.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Chua L. (2017). "Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit". International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038–188 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385
• Н. В. Кузнецов. Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления // Известия РАН. Теория и Системы управления. — 2020. — № 5. — С. 5—27. — doi:10.31857/S0002338820050091.

Ссылки

• Chua’s Circuit diagrams, equations, simulation and pictures Чуа Схемы, формулы, моделирования и фотографии
• Chua’s Circuit: Diagram and discussion
• NOEL laboratory. Leon O. Chua’s laboratory at the University of California, Berkeley
• References
• ТИИЭР Том 75 № 8 Август 1987