Функция концентрации

Функция концентрации (англ. concentration function) в теории вероятностей — одна из характеристик случайной величины. Функции концентрации используются в ряде задач теории вероятностей, в частности, при исследовании свойств свёрток распределений и предельных свойств сумм независимых случайных величин.

Определение

Пусть дана случайная величина [math]\displaystyle{ \xi }[/math] с функцией распределения [math]\displaystyle{ F }[/math]. Функцией концентрации величины [math]\displaystyle{ \xi }[/math] называется функция [math]\displaystyle{ Q_F }[/math], заданная на неотрицательной полуоси следующим образом:

[math]\displaystyle{ Q_F(x)=\sup_{t\in R}(F(t+x+0)-F(t)) }[/math].

Свойства

1. [math]\displaystyle{ Q_F(x)\geqslant0 }[/math];
2. [math]\displaystyle{ Q_F(x)+Q_F(y)\leqslant Q_F(x+y) }[/math];
3. [math]\displaystyle{ Q_F(x) }[/math] является монотонно неубывающей непрерывной справа функцией;
4. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}Q_F(x)=1 }[/math].

Литература

• Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999, стр. 257. - ISBN 5-85270-265-X.
• Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции концентрации. - М.: Наука, 1980.