Формулы Ньютона — Котса
Формулы Ньютона — Котса (Котеса), называемые также правилами квадратуры Ньютона — Котса или просто правилами Ньютона — Котса, — это группа формул для численного интегрирования (называемых также квадратурами), основанных на вычислении интегрируемой функции в одинаково отстоящих друг от друга точках. Формулы названы именами Исаака Ньютона и Роджера Котса.
Формулы Ньютона — Котса полезны, когда заданы значения интегрируемой функции на точках, отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии. Если можно менять положение точек, могут оказаться более пригодными другие методы, такие как метод Гаусса и квадратурный метод Кленшоу — Кёртиса[англ.].
Описание
Предполагается, что значения функции f определены на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] и известны в [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] точке [math]\displaystyle{ a \leqslant x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n \leqslant b }[/math], расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга. Если [math]\displaystyle{ x_0 = a }[/math] и [math]\displaystyle{ x_n = b }[/math], то есть используются значения функции на границах интервала, то функция называется квадратурой «замкнутого» типа, а если [math]\displaystyle{ x_0 \gt a }[/math] и [math]\displaystyle{ x_n \lt b }[/math], то есть значения функции в крайних точках интервала не используются, то «открытого» типа[1]. Формулы Ньютона — Котса, использующие [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] точек, могут быть определены (для обоих случаев) как[2]
- [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n A_i\, f(x_i) }[/math],
где
- для формулы замкнутого типа [math]\displaystyle{ x_i = a + i h }[/math], где [math]\displaystyle{ h = \frac{b-a}{n} }[/math],
- для формулы открытого типа [math]\displaystyle{ x_i = a + (i+1) h }[/math], где [math]\displaystyle{ h = \frac{b-a}{n+2} }[/math].
Число h называется размером шага, а [math]\displaystyle{ A_i }[/math] называется квадратурным коэффициентом[3].
[math]\displaystyle{ A_i }[/math] можно вычислить как интегралы от базисных многочленов Лагранжа, которые зависят только от [math]\displaystyle{ x_i }[/math] и не зависят от функции f. Пусть [math]\displaystyle{ L(x) }[/math] — интерполяционный многочлен в форме Лагранжа для заданных точек [math]\displaystyle{ (x_0, f(x_0)), \dots ,(x_n, f(x_n)) }[/math], тогда
- [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \left( \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x) \right) \, dx = \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{A_i}. }[/math]
Неустойчивость для высоких степеней
Можно построить формулы Ньютона — Котса любой степени n. Однако для больших n правило Ньютона — Котса может иногда страдать от феномена Рунге[4], когда ошибка растёт экспоненциально для больших n. Такие методы, как квадратура Гаусса или квадратура Кленшоу — Кёртиса — с неравными расстояниями между точками (имеющими бо́льшую плотность на концах интервала интегрирования) — устойчивы и более точны, а потому обычно более предпочтительны, чем квадратура Ньютона — Котса. Если эти методы нельзя использовать, то есть если значения интегрируемого выражения заданы только в фиксированной сетке с одинаковыми расстояниями, можно избежать феномена Рунге путём использования разбиения интервала, как разъяснено ниже.
Также устойчивые формулы Ньютона — Котса можно построить, если заменить интерполяцию на метод наименьших квадратов. Это позволяет записать численно устойчивые формулы даже для высоких степеней[5][6].
Формулы Ньютона — Котса замкнутого типа
Следующая таблица содержит перечисление некоторых формул Ньютона — Котса замкнутого типа. Для [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i \leqslant n }[/math] пусть [math]\displaystyle{ x_i = a + i \tfrac{b-a}{n} = a +ih }[/math], а обозначение [math]\displaystyle{ f_i }[/math] служит сокращением для [math]\displaystyle{ f(x_i) }[/math].
| n | Размер шага h | Общее название | Формула | Ошибка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ b-a }[/math] | Метод трапеций | [math]\displaystyle{ \frac{h}{2} (f_0 + f_1) }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi) }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{2} }[/math] | Формула Симпсона | [math]\displaystyle{ \frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2) }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{90}h^5f^{(4)}(\xi) }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{3} }[/math] | Формула Симпсона 3/8 | [math]\displaystyle{ \frac{3h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{3}{80}h^5f^{(4)}(\xi) }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{4} }[/math] | Правило Буля[англ.] | [math]\displaystyle{ \frac{2h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{8}{945}h^7f^{(6)}(\xi) }[/math] |
Правило Буля иногда ошибочно называют правилом Боде, как результат типографической опечатки в книге Абрамовица и Стиган[7][8].
Степень размера сегмента h в ошибке показывает скорость, с которой убывает ошибка аппроксимации. Порядок производной функции f в ошибке даёт наименьшую степень многочлена, который не может быть вычислен точно (то есть с нулевой ошибкой) по этому правилу. Число [math]\displaystyle{ \xi }[/math] должно быть взято из интервала (a, b).
Формулы Ньютона — Котса открытого типа
Таблица показывает некоторые формулы Ньютона — Котса открытого типа. Снова, [math]\displaystyle{ f_i }[/math] служит сокращённой записью для [math]\displaystyle{ f(x_i) }[/math], где [math]\displaystyle{ x_i = a + i \frac{b - a}{n + 2} }[/math].
| n | Размер шага h | Общее название | Формула | Ошибка |
|---|---|---|---|---|
| 0 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{2} }[/math] | Сумма Римана или средняя сумма Римана |
[math]\displaystyle{ 2h f_1\, }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{3}h^3f^{(2)}(\xi) }[/math] |
| 1 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{3}{2}h (f_1 + f_2) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{3}{4}h^3f^{(2)}(\xi) }[/math] | |
| 2 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{4} }[/math] | Формула Милна | [math]\displaystyle{ \frac{4}{3}h (2 f_1 - f_2 + 2 f_3) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{14}{45}h^5f^{(4)}(\xi) }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{5} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{5}{24}h (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{95}{144}h^5f^{(4)}(\xi) }[/math] |
Разбиение интервала
Чтобы формула Ньютона — Котса была более точной, нужно, чтобы длина h была мала. Значит, интервал интегрирования [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] сам должен быть маленьким, что в большинстве случаев не так. По этой причине обычно численное интегрирование осуществляется путём разбиения интервала [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] на меньшие подынтервалы, на каждом из которых применяется формула Ньютона — Котса, после чего результаты складываются. См. статью Численное интегрирование.
См. также
Примечания
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 240.
- ↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006, с. 386—387.
- ↑ Калашников, Федоткин, Фокина, 2016, p. 5,8.
- ↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006, с. 390—391.
- ↑ Pavel Holoborodko. Stable Newton-Cotes Formulas (24 марта 2011). Дата обращения: 17 августа 2015. Архивировано 31 декабря 2017 года.
- ↑ Pavel Holoborodko. Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type) (20 мая 2012). Дата обращения: 18 августа 2015. Архивировано 20 декабря 2017 года.
- ↑ Abramowitz, Stegun, 1972.
- ↑ Booles Rule на сайте Wolfram Mathworld с ошибкой в годе "1960" (вместо "1860"). Дата обращения: 13 января 2022. Архивировано 24 января 2018 года.
Литература
- Методические указания к решению задач по численному интегрированию / сост. А. Л. Калашников, А. М. Федоткин, В. Н. Фокина. — Нижний Новгород, 2016.
- Quarteroni. Numerical Mathematics. — 2nd. — Springer, 2006. — ISBN 978-3-540-34658-6.
- Section 25.4 // Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / M. Abramowitz, I. A. Stegun, eds.. — New York: Dover, 1972.
- Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям, С формулами, графиками и математическими таблицами. — Москва: «Наука», 1979.
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Section 5.1. // Computer Methods for Mathematical Computations. — Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977.
- Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas // Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. — 3rd. — New York: Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-88068-8.
- Josef Stoer, Roland Bulirsch. Section 3.1 // Introduction to Numerical Analysis. — New York: Springer-Verlag, 1980.
- Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1962. — Т. I.
Ссылки
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Newton–Cotes quadrature formula, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Newton-Cotes formulas on www.math-linux.com
- Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formulas (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Newton-Cotes Integration, numericalmathematics.com
 | Для улучшения этой статьи желательно: |