Перейти к содержанию

Формула Кардано

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Формулы Кардано»)

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

[math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math]

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году[1]. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано»[2].

Любое кубическое уравнение общего вида

[math]\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0 }[/math]

при помощи замены переменной

[math]\displaystyle{ x = y - \frac{b}{3a} }[/math]

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

[math]\displaystyle{ p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, }[/math]
[math]\displaystyle{ q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}. }[/math]

Формула

Определим величину[3]:

[math]\displaystyle{ Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2. }[/math]

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней[3]:

  • Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
  • Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
  • Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел[3].

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

[math]\displaystyle{ y_1 = \alpha + \beta, }[/math]

[math]\displaystyle{ y_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} }, }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} }, }[/math]

Дискриминант многочлена [math]\displaystyle{ y^3+py+q }[/math] при этом равен [math]\displaystyle{ \Delta = - 108 Q }[/math].

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] необходимо брать такое [math]\displaystyle{ \beta }[/math], для которого выполняется условие [math]\displaystyle{ \alpha\beta=-p/3 }[/math] (такое значение [math]\displaystyle{ \beta }[/math] всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math].

См. также

Литература

Примечания

  1. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с. Архивная копия от 21 октября 2014 на Wayback Machine Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 20 мая 2020. Архивировано 21 октября 2014 года.
  2. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с.
  3. Перейти обратно: 3,0 3,1 3,2 Справочник по высшей математике, 1999, с. 144.

Ссылки