Формула монотонности

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим [math]\displaystyle{ M }[/math] есть [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и [math]\displaystyle{ p\in M }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ R }[/math] минимальное расстояние от [math]\displaystyle{ p }[/math] до границы [math]\displaystyle{ M }[/math].

Тогда функция

[math]\displaystyle{ r\mapsto \frac{\mathrm{S}(M\cap B_r(p))}{r^m} }[/math]

монотонно возрастает в интервале [math]\displaystyle{ [0,R] }[/math]; здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] обозначает [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерную площадь и [math]\displaystyle{ B_r(p) }[/math] — шар радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ p }[/math].

Следствия

• Для [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ R }[/math] как в формулировке выполняется неравенство

  [math]\displaystyle{ \mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge \omega_k\cdot r^m, }[/math]

при [math]\displaystyle{ r\le R }[/math]; здесь [math]\displaystyle{ \omega_k }[/math] обозначает объём единичного шара в [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если [math]\displaystyle{ p }[/math] является точкой самопересечения то

[math]\displaystyle{ \mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge 2\cdot\omega_k\cdot r^m, }[/math]

при [math]\displaystyle{ r\le R }[/math].

Применения

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

Литература

• S. Brendle, P.K. Hung. Area bounds for minimal surfaces that pass through a prescribed point in a ball (англ.) // arXiv:1607.04631 [math.DG].

• Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π (англ.) // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.