Формула Якоби
Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ X(t) }[/math] — решение уравнения [math]\displaystyle{ \dot X=A(t)X }[/math], где [math]\displaystyle{ X, A }[/math] — матрицы. Тогда:
- [math]\displaystyle{ \det X = \exp \left ( \int_{0}^{t} tr A(s) ds \right ) \det X(0) }[/math]
Доказательство
Можно доказать, что [math]\displaystyle{ \dot {( \det X )} = ( \det X ) ( tr \dot X X^{-1}) }[/math] [1]. В доказуемой формуле [math]\displaystyle{ \dot X X^{-1} = A(t) }[/math]. Таким образом, функция [math]\displaystyle{ y(t)=\det X(t) }[/math] удовлетворяет условию [math]\displaystyle{ \dot{(\ln y)} = \frac{\dot y}{y} = tr A(t) }[/math]. Поэтому [math]\displaystyle{ y(t)=c \exp \left ( \int_{0}^{t} tr A(s) ds \right ) }[/math], где [math]\displaystyle{ c=y(0)=\det X(0) }[/math][2].
Примечания
- ↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 276.
- ↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 273.
Литература
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.