Формула Маграбе

В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ S_1(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ S_2(t) }[/math] — цены двух рискованных активов в момент [math]\displaystyle{ t }[/math], каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный [math]\displaystyle{ q_i }[/math]. Опцион [math]\displaystyle{ C }[/math], который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения [math]\displaystyle{ T }[/math]. Другими словами его выигрыш [math]\displaystyle{ C(T) }[/math] составит [math]\displaystyle{ \max(0, S_1(T) - S_2(T)) }[/math].

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] их отношения [math]\displaystyle{ S_1/S_2 }[/math] является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности [math]\displaystyle{ S_i }[/math] равны [math]\displaystyle{ \sigma_i }[/math], то [math]\displaystyle{ \textstyle\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1\sigma_2\rho} }[/math], то [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — коэффициент корреляции броуновских движений [math]\displaystyle{ S_i }[/math].

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

[math]\displaystyle{ e^{-q_1 T}S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T}S_2(0) N(d_2) }[/math]

где через [math]\displaystyle{ N }[/math] обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

[math]\displaystyle{ d_1 = \frac{\ln (S_1(0)/S_2(0)) + (q_2 - q_1 + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} }[/math],

[math]\displaystyle{ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} }[/math].

Доказательство

Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:

Во-первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] (в таких случаях говорят, что [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит [math]\displaystyle{ S_1/S_2 }[/math] единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка [math]\displaystyle{ q_2 }[/math] совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен [math]\displaystyle{ \max(0, S_1(T)/S_2(T) - 1) }[/math].
Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка [math]\displaystyle{ q_1 }[/math] первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива [math]\displaystyle{ S_1(0)/S_2(0) }[/math], процентная ставка [math]\displaystyle{ q_2 }[/math], волатильность [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
Так как окончательная цена опциона выражена в единицах [math]\displaystyle{ S_2 }[/math], то умножение на [math]\displaystyle{ S_2(0) }[/math] переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

См. также

Ссылки

The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg

Литература

William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978