Уравнения Чаплыгина

Уравнения Чаплыгина — уравнения динамики неголономной системы. Получены С. А. Чаплыгиным в 1895 году. Позволяют упростить уравнения динамики неголономных систем путём исключения из уравнений динамики связей и уменьшения числа интегрируемых уравнений на число связей.

Формулировка

Рассмотрим неголономную систему с [math]\displaystyle{ s }[/math] степенями свободы и [math]\displaystyle{ d }[/math] неголономными связями. Обозначим кинетическую энергию системы [math]\displaystyle{ T }[/math], потенциальную энергию [math]\displaystyle{ \Pi }[/math]. Обобщённые скорости зависимых координат [math]\displaystyle{ \dot{q}_{k}=\sum_{m=1}^{s-d}h_{km}\dot{q}_{m} + h_{k} }[/math], где [math]\displaystyle{ k=s-d+1, ..., s }[/math]. Обозначим [math]\displaystyle{ T^{*} }[/math] кинетическую энергию системы после исключения зависимых скоростей [math]\displaystyle{ \dot{q}_{s-d+1}, \dot{q}_{s-d+2}, ... , \dot{q}_{s} }[/math].

Уравнения динамики неголономной системы имеют вид

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) - \frac {\partial T^{*}}{\partial q_{m}} + \sum_{k=s-d+1}^{s} \frac {\partial T} {\partial \dot{q}_{k}} \sum_{r=1}^{s-d} \left ( \frac {\partial h_{kr}} {\partial q_{m}} - \frac {\partial h_{km}} {\partial q_{r}} \right ) \dot{q}_{r} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_{m}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m=1, 2, ..., s-d. }[/math] В этих уравнениях можно исключить скорости зависимых координат [math]\displaystyle{ \dot{q}_{s-d+1}, \dot{q}_{s-d+2}, ..., \dot{q}_{s} }[/math] при помощи уравнений [math]\displaystyle{ \dot{q}_{k}=\sum_{m=1}^{s-d}h_{km}\dot{q}_{m} + h_{k} }[/math] и таким образом получить [math]\displaystyle{ s-d }[/math] уравнений с [math]\displaystyle{ s-d }[/math] неизвестными [math]\displaystyle{ q_{1}, q_{2}, ..., q_{s-d} }[/math], которые интегрируются независимо от уравнений неголономных связей.

Литература

• Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.