Уравнение Саха

Ионизационное уравнение Са́ха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено Эггертом в 1919 году для недр звёзд, а в 1920 году применено индийским астрофизиком Мегнадом Саха для фотосферы. Оно позволило объяснить спектральную последовательность звёзд (за что и было названо в честь Саха). Независимо Ирвингом Ленгмюром оно было получено в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звёздных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы.

Условия применимости

Уравнение Саха выполняется, если ионизация и рекомбинация проходят по одному и тому же пути, плазма рассматривается как идеальный газ (при не слишком низких и не слишком высоких плотностях), кулоновская энергия мала по сравнению с тепловой.

Определение

Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ \frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{u_{i+1}}{u_i}\exp\left[-\frac{(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)}{k_BT}\right], }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ n_i }[/math] — концентрация атомов в [math]\displaystyle{ i }[/math]-й степени ионизации; [math]\displaystyle{ i }[/math] — число недостающих электронов.
• [math]\displaystyle{ n_e }[/math] — концентрация электронов
• [math]\displaystyle{ \varepsilon_i }[/math] — энергия, необходимая для удаления [math]\displaystyle{ i }[/math] электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома [math]\displaystyle{ i }[/math]-й степени ионизации.
• [math]\displaystyle{ u_i = \sum_n^z g_n(i)e^{-\frac{E_n}{k_BT}} }[/math] — статистическая сумма:
  • [math]\displaystyle{ g_n(i) }[/math] — статистический вес уровня [math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ i }[/math]-кратного иона.
  • [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура газа
  • [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана
• [math]\displaystyle{ \Lambda \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_ek_BT}} }[/math] — длина волны де Бройля (eng)
  • [math]\displaystyle{ m_e }[/math] — масса электрона
  • [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: [math]\displaystyle{ n_1=n_e }[/math], тогда полную плотность [math]\displaystyle{ n }[/math] можно ввести как [math]\displaystyle{ n=n_0+n_1 }[/math]. Уравнение Саха можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ \frac{n_e^2}{n-n_e} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right] }[/math],

где [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

[math]\displaystyle{ \frac{n^+}{n}P_e = \frac{2u_1}{u_0}\frac{\left(2 \pi m_e\right)^{3/2}}{h^3}\left(k_BT\right)^{5/2}e^{-\frac{\varepsilon}{k_BT}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_e }[/math] — давление электронов.

Ссылки

• A detailed derivation from University of Utah Physics Department (англ.)
• Lecture notes from University of Maryland Department of Astronomy (англ.)
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135—153 (англ.)
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148—160 (англ.)
• Д.А. Франк-Каменецкий. Лекции по физике плазмы. — Атомиздат, 1968. — 285 с.