Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова

Иллюстрация фазового перехода при росте зародышей, которые возникают случайным образом в рассматриваемом объёме.

Уравнение Колмогорова —Джонсона — Мела — Аврами (англ. Kolmogorov — Johnson — Mehl — Avrami — equation, JMAK) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым, и независимым образом в 1939 году Р. Ф. Мелом и У. Джонсоном, а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.

Основные постулаты

• Неограниченность объёма системы, в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
• Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью [math]\displaystyle{ I(t) }[/math] на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
• Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
• Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки [math]\displaystyle{ \dot{R} }[/math] не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени [math]\displaystyle{ t }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \dot{R} = v(t) }[/math].

Формула Колмогорова

Обозначим [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] долю в момент [math]\displaystyle{ t }[/math] несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму [math]\displaystyle{ V_{0} }[/math]. Тогда формула Колмогорова имеет вид

[math]\displaystyle{ q(t) = exp\left[-\int_{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt'\right] }[/math]

где [math]\displaystyle{ V(R(t',t)) }[/math] объём изолированного зародыша, зародившегося в момент времени [math]\displaystyle{ t' }[/math] и в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] имеющего радиус [math]\displaystyle{ R }[/math]. Зная [math]\displaystyle{ q(t) }[/math], легко вычислить долю сконденсировшегося объёма [math]\displaystyle{ Q(t) }[/math]

[math]\displaystyle{ Q(t) = 1 - q(t) }[/math]

Ограничения

Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад). В этом случае она даёт только оценку снизу для [math]\displaystyle{ q(t) }[/math].