Точка Шиффлера
Точка Шиффлера — замечательная точка треугольника, являющаяся пересечением прямых Эйлера четырёх треугольников [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], [math]\displaystyle{ \triangle ABI }[/math], [math]\displaystyle{ \triangle AIC }[/math], [math]\displaystyle{ \triangle IBC }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — инцентр [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math]. Теорема Шиффлера утверждает, что эти четыре линии действительно пересекаются в одной точке.
Трилинейные координаты точки Шиффлера имеют вид:
- [math]\displaystyle{ \left[\frac{1}{\cos B + \cos C}, \frac{1}{\cos C + \cos A}, \frac{1}{\cos A + \cos B}\right] }[/math]
или в эквивалентной записи через стороны:
- [math]\displaystyle{ \left[\frac{b+c-a}{b+c}, \frac{c+a-b}{c+a}, \frac{a+b-c}{a+b}\right] }[/math]
где через [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] обозначены длины сторон треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math].
Обнаружена немецким геометром-любителем Куртом Шиффлером в 1985 году. В «Энциклопедии центров треугольника» Кимберлинга идентифицируется как точка (центр) [math]\displaystyle{ X(21) }[/math].
Литература
- Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana. A note on the Schiffler point (англ.) // Forum Geometricorum. — 2003. — Vol. 3. — P. 113—116.
- Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина // Математика в школе. — 2006. — Т. 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358.
- Hatzipolakis, Antreas P.; van Lamoen, Floor; Wolk, Barry; Yiu, Paul. Concurrency of four Euler lines (англ.) // Forum Geometricorum. — 2001. — Vol. 1. — P. 59—68.
- Nguyen, Khoa Lu. On the complement of the Schiffler point (англ.) // Forum Geometricorum. — 2005. — Vol. 5. — P. 149—164.
- Schiffler, Kurt; Veldkamp, G. R.; van der Spek, W. A. Problem 1018 (англ.) // Crux Mathematicorum. — 1985. — Vol. 11. — P. 51. (решение — vol. 12, pp. 150—152).
- Thas, Charles. On the Schiffler center (англ.) // Forum Geometricorum. — 2004. — Vol. 4. — P. 85—95.