Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора

Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора — соотношения между вакуумными средними хронологических произведений операторов поля, обеспечивающие калибровочную инвариантность квантовой теории. В квантовой электродинамике эти соотношения, называемые Уорда тождествами и тождествами Уорда — Такахаши, являются прямым следствием сохранения тока, с которым взаимодействует калибровочное поле. Они выражают дивергенцию функции Грина с [math]\displaystyle{ n }[/math] внешними фотонными линиями через функции Грина с [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] внешней фотонной линией. Простейшее тождество Уорда — Такахаши, связывающее вершинную часть [math]\displaystyle{ \Gamma_\mu }[/math] и собственную энергию электрона [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], имеет вид:

[math]\displaystyle{ \Gamma_\mu (p,p) = - \frac{\partial}{\partial p^\mu} \Sigma(p) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1) }[/math]

где [math]\displaystyle{ p }[/math] — 4-импульс электрона. Из тождества Уорда — Такахаши следуют соотношения между константами перенормировки: [math]\displaystyle{ \delta m = 0, \ Z_1 = Z_2 }[/math] , где [math]\displaystyle{ \delta m,\ Z_1,\ Z_2 }[/math] — соответственно константы перенормировки массы фотона, вершинной функции, волновой функции электрона.

В отличие от электродинамики, в квантовой теории неабелевых калибровочных полей ток, с которым взаимодействует поле Янга — Миллса, не сохраняется. Поэтому простые тождества типа (1) не справедливы. Их аналогом являются тождества Славнова-Тейлора, выражающие дивергенцию функции Грина с n внешними линиями поля Янга — Миллса через функции Грина с числом внешних линий [math]\displaystyle{ \geqslant n }[/math], включающие помимо полей Янга — Миллса вспомогательые поля (духи Фаддеева — Попова). Тождества Славнова — Тейлора для полей Янга — Миллса можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ \int \exp \left[ i \int \left( \mathcal{L}(A) + \frac{1}{2 \alpha} (\partial_\mu A_\mu)^2 + \mathcal{L}_c + I_\mu^a A_\mu^a \right) dx \right] \left[-\frac{1}{\alpha} \partial_{\mu}A_{\mu}^a(x) \right. + }[/math]

[math]\displaystyle{ + \left. \int \bar{c}^a(x) I_{\mu}^b \left( \partial_{\mu} c^b(y) g t^{bcd} A_{\mu}^c(y)c^d(y) \right) d y \right] d A d \bar{c} d c =0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(A) }[/math] — классический лагранжиан поля Янга — Миллса [math]\displaystyle{ A_\mu^a }[/math], [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_c }[/math] — лагранжиан духов Фаддеева — Попова [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ \bar{c} }[/math]; [math]\displaystyle{ I }[/math] — ток внешних источников, [math]\displaystyle{ g }[/math] — константа взаимодействия, [math]\displaystyle{ t^{bcd} }[/math] — структурные константы калибровочной группы.

Из тождеств Славнова — Тейлора следуют соотношения между константами перенормировки полей Янга — Миллса и духов Фаддеева — Попова: [math]\displaystyle{ \delta m = 0,\ Z_1 Z_2^{-1} = \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2^{-1}, \ Z_4 = Z_1^2 Z_2^{-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta m }[/math] — константа перенормировки массы поля Янга — Миллса, [math]\displaystyle{ Z_2, Z_1, Z_4 }[/math] — соответственно константы перенормировки волновой функции и вершинных частей с тремя и четырьмя внешними линиями поля Янга — Миллса, а [math]\displaystyle{ \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2 }[/math] — константы перенормировки волновой функции духов Фаддеева — Попова и вершинной части с одной внешней линией поля Янга — Миллса и двумя линиями духов Фаддеева — Попова.

Тождества Славнова — Тейлора выражают симметрию эффективного действия, стоящего в экспоненте в формуле (2), относительно преобразований, перепутывающих поля Янга — Миллса и духи Фаддеева — Попова, — так называемых преобразований БРСТ. Эти тождества гарантируют калибровочную инвариантность перенормированной теории и играют ключевую роль в доказательстве унитарности матрицы рассеяния.

Литература

• Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова.
• А. А. Славнов. Тождества Уорда в калибровочных теориях // ТМФ. — 1972. — Т. 10. — С. 153—161. — doi:10.1007/BF01090719.
• Taylor, J. C. Ward Identities and Charge Renormalization of the Yang-Mills Field // Nucl. Phys.. — 1971. — Т. B33. — С. 436—444. — doi:10.1016/0550-3213(71)90297-5.
• Ициксон К., Зюбер Ж. Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, M., 1984.

Ссылки

• Slavnov-Taylor identities  (англ.)